追梦专项总结突破卷(二)平面直角坐标系-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（人教版 河南专版）

— 97 — — 98 — — 99 — 追梦专项总结突破卷(二) 平面直角坐标系 题型一　 利用面积公式求图形面积 1. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的面积 是(　 　 ) A. 2　 　 　 　 　 B. 4 C. 8 D. 6 2. 如图所示,在平面直角坐标系中,每一空格的边长为 1. (1)写出三角形 OBC 的顶点坐标; (2)求三角形 OBC 的面积. 题型二　 利用分割法求图形面积 3. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知四边形 ABCD 的顶点 A 的坐标为( -2,-1),则四边形 ABCD 的面积为　 　 　 　 . 4. 在如图所示的平面直角坐标系中,四边形 OABC 各顶点的坐标 分别是 O(0,0)、A( - 4,10)、B( - 12,8)、C( - 14,0),求四边形 OABC 的面积. 题型三　 利用填补法求图形面积 5. 在平面直角坐标系中,A ( 0, 1),B ( 2, 0), C(4,3),则△ABC 的面积为　 　 　 　 . 6. (焦作期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A,B,C 的坐标 分别为( -1,-3),( -3,-4),( -4,-1) . (1)将△ABC 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 1 个单位长 度后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出 A1、B1、C1 的 坐标; (2)求△A1B1C1 的面积. 题型四　 与图形面积有关的点的存在性问题 7. 已知 A,B 两点的坐标分别为(3,4),(2,0),点 P 是 x 轴上的一 点,且三角形 ABP 的面积为 6. 则点 P 的坐标为　 　 　 　 . 8. 如图,在平面直角坐标系中,点 A( -1,0),B(2, 0),C(0,2),点 D 在坐标轴上,若三角形 BCD 的面积与三角形 ABC 的面积相等且点 D 不与 点 A 重合,则点 D 的坐标为　 　 　 　 . 9. 如图,在平面直角坐标系中,点 A、B 的坐标分别为( -1,0),(3, 0),现同时将点 A,B 分别向上平移 2 个单位,再向右平移 1 个 单位,分别得到点 A,B 的对应点 C,D,连接 AC,BD,CD. (1)则点 C 的坐标为( 　 　 　 ,　 　 　 ),点 D 的坐标( 　 　 　 , 　 　 　 　 ); (2)若在 y 轴上存在点 M,连接 MA,MB,使 S△MAB = 8(三角形 MAB 的面积为 8),求出点 M 的坐标; (3)若点 P 在直线 BD 上运动,连接 PC,PO. ①若点 P 在线段 BD 之间时(不与 B,D 重合),设三角形 CDP 与三角形 BOP 的面积和为 S,则 S 的取值范围是多少; ②若点 P 在直线 BD 上运动,请直接写出∠CPO、∠DCP、 ∠BOP 的数量关系. 10. (安阳期末)如图,在平面直角坐标系中,已知 A(3,0),B(4, 3),将线段 OA 平移至 CB,连接 OC,AB,BC. (1)求出点 C 的坐标; (2)点 D 在 x 轴上从点 O 沿正方向运动,点 D 在运动过程中是 否存在△ODC 的面积是△ABD 的面积的 3 倍? 如果存在, 请求出点 D 的坐标;如果不存在,请说明理由. 　 　 备用图 — 100 — — 101 — — 102 — 题型五　 沿坐标轴方向运动的点的坐标规律 11. 在平面直角坐标系中,一只电子青蛙从原点 O 出发,按向上, 向右,向下,向右的方向依次不断移动,每次移动 1 个单位长 度,其行走路线如图所示,那么点 A2 024 的坐标是(　 　 ) A. (1 010,1)　 　 　 　 　 　 　 　 B. (1 012,0) C. (505,0)　 　 D. (1 009,0) 12. 如图,动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动, 第 1 次从原点运动到点( -1,1),第 2 次接着运动到点( -2,0), 第 3 次接着运动到点( -3,2),……,按这样的运动规律,经过 第 2 023 次运动后,动点 P 的坐标是(　 　 ) 　 　 A. (2 023,0) B. ( -2 023,0) C. ( -2 023,2) D. (2 023,2) 13. 如图,已知 A1(1,2),A2(2,2),A3(3,0),A4(4,-2),A5(5,-2), A6(6,0)…,按这样的规律,则点 A2 022 的坐标为(　 　 ) A. (2 022,0) B. (2 023,0) C. (2 022,-2) D. (2 022,2) 14. 如图,动点 P 在平面直角坐标系中,按箭头所示方向呈台阶状 移动,第一次从原点运动到点(0,1),第二次继续运动到点(1, 1),第三次接着运动到点(1,2),…,按这样的运动规律,经过 2 022 次运动后,动点 P 的坐标是(　 　 ) A. (506,506) B. (1 011,1 011) C. (2 021,2 022) D. (2 022,2 022) 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 在平面直角坐标系内,原点 O(0,0)第一次跳动到点 A1(0,1), 第二次从点 A1 跳动到点 A2(1,2),第三次从点 A2 跳动到点 A3 ( -1,3),第四次从点 A3 跳动到点 A4( -1,4),…,按此规律下 去,则点 A2 023 的坐标是(　 　 ) A. (673,2 023) B. (674,2 023) C. ( -673,2 023) D. ( -674,2 023) 题型六　 绕原点运动变化的点的坐标规律 16. 如图,已知点 A1(1,0),A2(1,1),A3( -1,1),A4( -1,-1),A5(2, -1),…,则点 A2 020 的坐标为(　 　 ) A. (505,505) B. (506,-505) C. ( -505,-505) D. ( -505,505) 第 16 题图 　 　 　 　 第 17 题图 17. 一只跳蚤在第一象限及 x 轴、y 轴上跳动,在第一秒钟,它从原 点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0) →(0,1)→(1,1) →(1,0) →…],且每秒跳动一个单位,那么 第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标是(　 　 ) A. (4,0) B. (5,0) C. (0,5) D. (5,5) 题型七　 绕固定点运动变化的点的坐标规律 18. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1,1),B( -1,1),C( -1, -2),D(1,-2),一智能机器人从点 A 出发,以每秒 1 个单位长 度的速度,沿 AB→BC→CD→DA 方向匀速循环前行,当机器人 前行了 2 024 秒时,其所在位置的点的坐标为(　 　 ) A. (1,1) B. ( -1,-1) C. ( -1,0) D. (1,-1) 第 18 题图 　 　 　 　 第 19 题图 19. 如图,小球起始时位于(3,0)处,沿图中所示的方向击球,小球 运动的轨迹如图所示,那么小球第 2 022 次碰到球桌边时,小 球的位置是(　 　 ) A. (8,3) B. (0,3) C. (1,4) D. (3,0) 题型八　 新定义中的点的坐标规律 20. 在平面直角坐标系中,对于点 P( x,y),我们把点 P′( -y+ 1, x+1)叫做点 P 的伴随点.已知点 A1 的伴随点为 A2,点 A2 的伴随 点为 A3,点 A3 的伴随点为 A4,…,这样依次得到点 A1,A2,A3,…, An,….若点 A1 的坐标为(2,4),点 A2 022 的坐标为(　 　 ) A. (3,-1) B. ( -2,-2) C. ( -3,3) D. (2,4) 21. 已知点 E(x0,y0 ),F(x2,y2 ),点 M(x1,y1 )是线段 EF 的中点, 则 x1 = x0 +x2 2 ,y1 = y0 +y2 2 . 在平面直角坐标系中有三个点 A(1, -1),B( -1,-1),C(0,1),点 P(0,2)关于 A 的对称点为 P1(即 P,A,P1 三点共线,且 PA = P1A),P1 关于 B 的对称点为 P2,P2 关于 C 的对称点为 P3,按此规律继续以 A,B,C 为对称点重复 前面的操作, 依次得到 P4, P5, P6, …, 则点 P2 023 的坐标 是(　 　 ) A. (4,0) B. ( -2,2) C. (2,-4) D. ( -4,2) ∴ ∠DPE= 180°-150° = 30°, ∴ ∠APD= ∠APE+∠DPE= 50°+30° = 80°; (2)α+β-∠P = 180° 　 【解析】过点 P 向右作 PE∥ AB,∵ AB∥CD, PE∥AB, ∴ AB∥PE∥CD, ∴ ∠DPE = ∠CDP = β,∠APE + ∠PAB = 180°,∴ ∠APE = 180° - α, ∠DPE = ∠DPA + ∠APE = ∠DPA+180°-α,∴ ∠β= ∠DPA+180°-α,∴ α+β -∠P= 180°. 【联系拓展】 设 PD 交 AN 于点 O,∵ AP⊥PD,∴ ∠APO= 90°, ∵ ∠PAN + 1 2 ∠PAB = ∠APD, ∴ ∠PAN + 1 2 ∠PAB = 90°, ∵ ∠POA + ∠PAN = 90°, ∴ ∠POA= 1 2 ∠PAB,∵ ∠POA = ∠NOD,∴ ∠NOD = 1 2 ∠PAB, ∵ DN 平分 ∠PDC, ∴ ∠ODN = 1 2 ∠PDC, ∴ ∠AND = 180° - ∠NOD - ∠ODN = 180°- 1 2 ( ∠PAB+ ∠PDC),由( 2) 得:∠CDP+ ∠PAB-∠APD= 180°,∴ ∠CDP+∠PAB = 180°+ ∠APD,∴ ∠AND = 180°- 1 2 (∠PAB+∠PDC) = 180°- 1 2 ( 180° + ∠APD) = 180° - 1 2 × ( 180° + 90°)= 45°. 实数 1. A　 【解析】无理数为无限不循环小数, π 3 , 7 为无理数, 共 2 个,故选 A. 2. C　 【解析】①(-3) 2 的算术平方根是 3,故错误;②4 的 平方根为±2,故正确;③一个实数的立方根是正数,0,负 数,故错误;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么 这个数是±1 或 0,故错误,故选 C. 3. B　 【解析】由题可得 b= 1 3 ,则 a= 6,ab = 6× 1 3 = 2,则 ab 的算数平方根是 2,故选 B. 4. 14　 【解析】由题可得 n-12 = 0,m-1 = 0,则 n= 12,m= 1, ∴ 2m+n= 2×1+12 = 14. 5. C　 【解析】∵ 1<x<2,∴ 1< x < 2,1<x2 <4. ∵ x>1. 5,∴ x <1. 414,∴ x <x<x2,故选 C. 6. 解:(1)<　 < (2) 17 - 16 　 n- n-1 (3)原式= 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +……+ n+1 - n = n+1 -1. 7. 解:(1)原式= 2-4-1 = -3; (2)原式= 2- 3 -(3-4-2)-9 = 2- 3 +3-9 = - 3 -4. 8. 解:(1)移项得:(x+2) 2 = 16, 开方得:x+2 = ±4, 解得 x= 2 或 x= -6. 　 　 　 (2)移项得: 1 3 (3x-2) 3 = -9, 即:(3x-2) 3 = -27, 开方得:3x-2 = -3, 3x= -1, 解得 x= - 1 3 . 9. 解:(1)∵ 一个数的平方根是 3a+1 和 a+11, ∴ 3a+1+a+11 = 0,解得 a= -3,则 3a+1 = -8, 故这个数为(-8) 2 = 64,则这个数的立方根为 4; (2)由 x-2 的平方根是±2,2x+y+7 的立方根是 3, 得 x-2 = 4,2x+y+7 = 27,解得 x= 6,y= 8. ∴ x2 +y2 = 100, ∴ x2 +y2 的算术平方根是 10. 追梦专项总结突破卷(二) 平面直角坐标系 1. B　 【解析】∵ 点 A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(-1, 0),点 C 的坐标为(3,0),∴ OA = 2,BC = 4,∴ S△ABC = 1 2 BC·OA= 1 2 ×2×4 = 4. 故选 B. 2. 解:(1)O(0,0),B(6,0),C(5,5); (2)S△OBC = 1 2 ×6×5 = 15. 3. 19　 【解析】过点 C 作 CE⊥y 轴,∵ A(- 2,- 1),∴ B(2, -1),C(4,3),D(0,4),AB 与 y 轴交于点 F,∴ S四边形ABCD = S△AFD+S梯形BCEF+S△CED = 1 2 ×2×5+ 1 2 ×(4+2)×4+ 1 2 ×1×4 = 19. 4. 解:过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,作 BD⊥x 轴于点 D,则 S四边形OABC =S△BCD +S梯形ABDE +S△OAE = 1 2 × 2× 8+ 1 2 ×(8+ 10)×8+ 1 2 ×4×10 = 8+72+20 = 100. 5. 4 6. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求,A1 ,B1 ,C1 的坐标 分别为(0,0),(-2,-1),(-3,2); (2)S△A1B1C1 = (1+3)×3 2 - 1 2 ×1×3- 1 2 ×1×2 = 7 2 . 7. (-1,0)或(5,0)　 【解析】设 P 点坐标为(x,0),根据题 意得 1 2 ·4· | 2-x | = 6,解得 x = - 1 或 5,∴ P 点坐标为 (-1,0)或(5,0) . 8. (5,0)或(0,-1)或(0,5) 　 【解析】∵ 点 A(-1,0),B(2, 0),C(0,2),∴ AB= 3,OC=OB = 2,∴ S△ABC = 1 2 ×(2+1)× 71 2 = 3. 当点 D 在 x 轴上时,S△BCD = 1 2 BD·OC= 1 2 BD×2 = 3,∴ BD= 3,∵ 点 D 不与点 A 重合,∴ 点 D 的坐标为(5, 0);当点 D 在 y 轴上时,S△BCD = 1 2 CD·OB = 1 2 CD× 2 = 3,∴ CD= 3,∴ 点 D 的坐标为(0,- 1)或(0,5) . 综上所 述,点 D 的坐标为(5,0)或(0,-1)或(0,5) . 9. 解:(1)0　 2　 4　 2 (2)设 M 的坐标为(0,yM),∵ S△MAB = 1 2 ·AB· | yM | = 8,∴ | yM | = 4,∴ yM = ± 4,即点 M 的坐标为(0, -4)或(0,4) . (3)①3<S<4,理由如下:S四边形OBDC = (3+4)×2÷2 = 7, ∵ S=S四边形OBDC-S△OCP, 当 P 与点 B 重合时,此时 S△OCP 最小, 即 S△OCP = 1 2 ×2×3 = 3; 当 P 与点 D 重合时,此时 S△OCP 最大, 即 S△OCP = 1 2 ×2×4 = 4, ∴ 3<S△OCP<4,∴ 3<S<4. ②当点 P 在线段 BD 上时, ∠CPO= ∠DCP+∠BOP; 当点 P 在线段 BD 的延长线上时, ∠CPO= ∠BOP-∠DCP; 当点 P 在线段 DB 的延长线上时, ∠CPO= ∠DCP-∠BOP. 10. 解:(1)∵ A(3,0),B(4,3),将线段 OA 平移至 CB, ∴ OA= 3,BC∥OA,BC=OA,∴ 点 C(1,3); (2)存在,当点 D 在线段 OA 上时,则 AD= 3-OD, ∵ △ODC 的面积是△ABD 的面积的 3 倍, ∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (3-OD)×3, ∴ OD= 9 4 ,∴ 点 D( 9 4 ,0); 当点 D 在线段 OA 的延长线上时,AD=OD-3, ∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (OD-3)×3, ∴ OD= 9 2 ,∴ 点 D( 9 2 ,0); 综上所述:点 D 坐标为( 9 4 ,0)或( 9 2 ,0) . 11. B 12. C　 【解析】由题意可知,第 1 次从原点运动到点(- 1, 1),第 2 次接着运动到点(-2,0),第 3 次接着运动到点 (-3,2),第 4 次接着运动到点(- 4,0),第 5 次接着运 动到点(-5,1),第 6 次接着运动到点(-6,0),……,第 4n 次接着运动到点(-4n,0),第 4n+1 次接着运动到点 (-4n-1,1),第 4n+2 次接着运动到点(- 4n- 2,0),第 4n+3 次接着运动到点( - 4n- 3,2),∵ 2 023 ÷ 4 = 505 ……3,∴ 第 2 023 次接着运动到点 ( - 2 023,2) . 故 选 C. 13. A　 【解析】观察发现,每 6 个点形成一个循环,∵ A6(6, 0),∴ OA6 = 6. ∵ 2 022÷ 6 = 337,∴ 点 A2 022 位于第 337 个循环组的第 6 个,∴ 点 A2 022 的横坐标为 6 × 337 = 2 022,其纵坐标为 0,∴ 点 A2 022 的坐标为(2 022,0) . 故 选 A. 14. B 15. D　 【解析】∵ A1(0,1),A2(1,2),A3(-1,3),A4(-1,4), A5(2,5),A6(-2,6),A7(-2,7),A8(3,8),…,A3n-1(n,3n -1),A3n(-n,3n),A3n+1(-n,3n+1)(n 为正整数),∵ 3× 674+1 = 2 023,∴ n= 674,∴ A2 023(-674,2 023) . 故选 D. 16. C　 【解析】通过观察可得数字是 4 的倍数的点在第三 象限,∵ 2 020÷ 4 = 505,∴ 点 A2 020 在第三象限,∴ A2 020 是第 三 象 限 的 第 505 个 点, ∴ 点 A2 020 的 坐 标 为: (-505,-505) . 故选 C. 17. B　 【解析】跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度, (0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是 1 秒, 2 秒,3 秒,到(2,0)用 4 秒,到(2,2)用 6 秒,到(0,2)用 8 秒,到(0,3)用 9 秒,到(3,3)用 12 秒,到(4,0)用 16 秒,依此类推,到(5,0)用 35 秒. 故第 35 秒时跳蚤所在 位置的坐标是(5,0) . 故选 B. 18. B　 【解析】由点 A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1, -2),可知 ABCD 是长方形,∴ AB =CD = 2,CB = AD = 3, ∴ 机器人从点 A 出发沿着 A-B-C-D 回到点 A 所走路 程是:2+2+3+3 = 10,∵ 2 024÷10 = 202……4,∴ 第 2 024 秒时机器人在第三象限点 C 上,∴ 机器人所在点的坐 标为(-1,-1) . 故选 B. 19. D　 【解析】由图可得,小球第一次碰撞后的点的坐标为 (0,3),第二次碰撞后的点的坐标为(1,4),第三次碰撞 后的点的坐标为(5,0),第四次碰撞后的点的坐标为 (8,3),第五次碰撞后的点的坐标为(7,4),第六次碰撞 后的点的坐标为(3,0),…,∵ 2 022÷6 = 337,∴ 小球第 2 022 次碰到球桌边时,小球的位置是(3,0) . 故选 D. 20. C　 【解析】∵ A1 的坐标为(2,4),∴ A2(-3,3),A3(-2, -2),A4(3,-1),A5(2,4),…,依此类推,每 4 个点为一 个循环组依次循环,∵ 2 022÷ 4 = 505……2,∴ 点 A2 022 的坐标与 A2 的坐标相同,为(-3,3) . 故选 C. 21. C 追梦专项总结突破卷(三) 二元一次方程组 1. A 2. D　 【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为 x 个、y 个,由题意得: 4x+3y=n x+2y=m{ ,两式相加得,m+n = 5(x+ y),∵ x、y 都是正整数,∴ m+ n 是 5 的倍数,∵ 2 022、 2 023、2 024、2 025 四个数中只有 2 025 是 5 的倍数,∴ m +n 的值可能是 2 025. 故选 D. 3. 解:(1)设工人师傅用 x 张木工板做侧面,y 张木工板做 底面,才能使做成的侧面和底面配套,根据题意, 得 x+y= 40, 3y 2 = 2x 4 ,{ 解得 x= 30,y= 10.{ 故工人师傅用 30 张木 81