追梦专项总结突破卷(一)相交线与平行线-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（人教版 河南专版）

— 91 — — 92 — — 93 — 追梦专项总结突破卷(一) 相交线与平行线 题型一　 相交线与平行线中的方程思想 1. 如图,直线 AB、CD 相交于点 O,OE⊥CD,垂足为 O,若射线 OF 在∠AOE 的内部,∠EOF = 25°,∠AOF = 2 3 ∠BOD,则∠BOC 的 度数为(　 　 ) A. 120°　 　 　 　 B. 135°　 　 　 　 C. 141°　 　 　 　 D. 145° 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图, 直线 AB、 CD 相交于点 O, OE 平分 ∠BOD, OF 平分 ∠COE,∠AOD ∶∠BOE= 4 ∶1,则∠AOF 的度数为(　 　 ) A. 120°　 B. 125°　 C. 130°　 D. 135° 3. 如图,直线 AB 和 CD 相交于点 O,OE 把∠AOC 分成两部分,且 ∠AOE ∶∠EOC= 2 ∶3,OF 平分∠BOE. (1)若∠BOD= 65°,求∠BOE; (2)若∠AOE= 1 2 ∠BOF-10°,求∠COE. 题型二　 相交线与平行线中的分类讨论思想 4. 如图,直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,且∠BOD= 2∠BOC,若以 点 O 为端点的射线 OE⊥CD,则∠BOE 的度数为　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,若 AD∥BE,点 C 是直线 FG 上一动点,当∠DAC = α, ∠EBC=β 时,则∠ACB 的度数可能是　 　 　 　 . (用含 α、β 的式 子表示) 6. 同一平面内,∠1 的两边平行于∠2 的两边,且∠1 比∠2 的 3 2 倍 少 70°,则∠1 的度数为　 　 　 　 . 7. 如图,∠AOB = 60°,在∠AOB 的内部有一点 P,以 P 为顶点,作 ∠CPD,使∠CPD 的两边与∠AOB 的两边分别平行,∠CPD 的 度数为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,直线 AB∥CD,点 M,N 分别在直线 AB,CD 上,点 E 为直线 AB 与 CD 之间的一点,连接 ME,NE,且∠MEN= 100°,∠AME 的 平分 线 与 ∠CNE 的 平 分 线 交 于 点 F, 则 ∠MFN 的 度 数 为　 　 　 　 . 题型三　 相交线与平行线中的转化思想 9. 如图,直角三角形 ABC 的周长为 100, 在其内部有 6 个小直角三角形,则 6 个 小直角三角形的周长之和为 　 　 　 　 . 10. 如图,两个直角梯形重叠在一起,将梯形 ABCD 沿 AD 方向平移 至梯形 EFGH,其中 HG = 20,MG = 8,MC = 5,求阴影部分的面 积. (单位:cm) 题型四　 平行线中含拐点问题 11. 如图,在三角形 ABC 中,点 E 是 AB 上一点,点 F 是三角形 ABC 内一点,连接 EF、CF,过点 A 作 BC 的平行线 AD,若∠DAC = 53°,∠ACF = 26°,∠EFC = 153°, ∠B = 55°,则∠BEF 的度数 为(　 　 ) A. 124°　 B. 125°　 C. 126°　 D. 127° 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 12. 如图,已知 AB∥CD,点 E 在两平行线之间,连接 BE,CE,∠ABE 的平分线与∠BEC 的平分线的反向延长线交于点 F,若∠BFE = 50°,则∠C 等于(　 　 ) A. 70°　 B. 80°　 C. 85°　 D. 90° 13. 阅读下列解答过程: 如图,AB∥CD,点 E 在 AB,CD 两平行线之间,连接 AE,DE. 若∠A= 20°,∠AED= 80°. 求∠D 的度数是多少? 解:过点 E 作 EF∥AB, ∵ ∠A= 20°,∴ ∠(☉)= ∠A= 20°, ∴ ∠FED=(#), ∵ EF∥AB,AB∥CD, ∴ EF∥CD(∗), ∴ ∠D+∠FED= 180°(S), ∴ ∠D= 120°. ①☉代表 AEF;②#代表∠AED-∠AEF = 60°;③∗代表平行于 同一条直线的两条直线平行;④S 代表同旁内角互补,两直线 平行. 上述补充的解答过程和依据中,正确的个数有(　 　 ) A. 1 个　 B. 2 个　 C. 3 个　 D. 4 个 14. 在平行线间再加一点,形成“锯齿”型如图,已知 AB∥CD,E 为 AB 上一点,∠AEF= 60°,∠C= 20°,∠EFG= 90°,则∠FGC 的度 数为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图, 已知 AB∥DE, ∠ABC = 80°, ∠CDE = 140°, 则 ∠BCD = 　 　 　 　 . 16. 【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直 线的平行线进行转化. 例如:如图 1,MN∥PQ,点 C、B 分别在直 线 MN、PQ 上,点 A 在直线 MN、PQ 之间. 求证:∠CAB= ∠MCA+∠PBA. 证明:如图 1,过点 A 作 AD∥MN, ∵ MN∥PQ,AD∥MN, ∴ AD∥MN∥PQ, — 94 — — 95 — — 96 — ∴ ∠MCA= ∠DAC,∠PBA= ∠DAB, ∴ ∠CAB= ∠DAC+∠DAB= ∠MCA+∠PBA, 即:∠CAB= ∠MCA+∠PBA. 【类比应用】已知直线 AB∥CD,P 为平面内一点,连接 PA、PD. (1)如图 2,已知∠A = 50°,∠D = 150°,求∠APD 的度数,说明 理由; (2)如图 3,设∠PAB=α、∠CDP=β、直接写出 α、β、∠P 之间的 数量关系为　 　 　 　 . 【联系拓展】如图 4,直线 AB∥CD,P 为平面内一点,连接 PA、 PD. AP⊥PD,DN 平分∠PDC,若∠PAN+ 1 2 ∠PAB = ∠P,运用 (2)中的结论,求∠N 的度数,说明理由. 图 1 　 　 图 2 图 3 　 　 图 4 实数 题型一　 实数的相关概念 1. 在 3. 141 592 65,0. 6,π 3 , 7,-8, 36,22 7 中,无理数的个数有(　 　 ) A. 2 个　 　 　 　 B. 3 个　 　 　 　 C. 4 个　 　 　 　 D. 5 个 2. 有如下命题:①-3 是( -3) 2 的算术平方根;②2 是 4 的一个平方 根;③一个实数的立方根不是正数就是负数;④如果一个数的立 方根是这个数本身,那么这个数是 1 或 0. 其中错误的是(　 　 ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 题型二　 非负性的应用 3. 若 a= 3b-1 - 1-3b +6,则 ab 的算术平方根是(　 　 ) A. 2 B. 2 C. ± 2 D. 4 4. 已知实数 m、n 满足 | n-12 | + m-1 = 0,则 2m+n= 　 　 　 　 . 题型三　 实数的大小比较 5. 实数 x 在数轴上的位置如图所示,则 x, x , x2 的大小关系 是(　 　 ) A. x <x2 <x B. x< x <x2 C. x <x<x2 D. x<x2 < x 题型四　 实数的运算 6. (1)用“ >”“ <”或“ = ”填空: 3 　 　 　 4 , 5 　 　 　 6 ; (2)由以上可知:① | 16 - 17 | = 　 　 　 　 ,② | n-1 - n | = 　 　 　 　 ; (3)计算: | 1- 2 | + | 2 - 3 | + | 3 - 4 | +……+ | n - n+1 | . (结果保留根号) 7. 计算: (1) | -2 | -( -2) 2 -( 2 016 -2 015) 0; (2) ( 3 -2) 2 -( | -3 | - 16 - 1 2 × 3 64 ) -( -3) 2 . 8. 求 x 的值: (1)(x+2) 2 -16 = 0　 　 　 　 　 　 　 (2) 1 3 (3x-2) 3 +9 = 0 9. (1)已知一个数的平方根是 3a+1 和 a+11,求这个数的立方根; (2)已知 x-2 的平方根是±2,2x+y+7 的立方根是 3,求 x2 +y2 的 算术平方根. (2)216 (3)由统计图可知,学生追电视明星占大多数, 建议大力宣传科技兴国、发展文学等活动. (答案不唯一) 追梦专项总结突破卷(一) 相交线与平行线 1. C　 【解析】设∠BOD= 3x°,则∠AOF= 2 3 ∠BOD= 2x°,∵ OE⊥CD,∴ ∠EOD = 90°,∵ ∠EOF = 25°,∴ 2x+ 25+ 90+ 3x= 180,解得 x = 13,∴ ∠BOD = 39°,则∠BOC = 180° - ∠BOD= 141°. 故选 C. 2. D　 【解析】设∠BOE = x°,则∠AOD = 4x°,∵ OE 平分 ∠BOD,∴ ∠BOE= ∠DOE = x°,∴ ∠AOC = ∠BOD = 2x°, ∵ ∠AOD+∠BOD = 180°,∴ 4x+ 2x = 180,解得 x = 30,∴ ∠COE= 180° - ∠DOE = 150°,∠AOC = 60°,∵ OF 平分 ∠COE,∴ ∠COF = 1 2 ∠COE = 75°,∴ ∠AOF = ∠AOC+ ∠COF= 60°+75° = 135°. 故选 D. 3. 解:(1)∵ ∠AOC= ∠BOD= 65°,∠AOE ∶∠EOC= 2 ∶3, ∴ ∠AOE = 2 5 ∠AOC = 26°. ∴ ∠BOE = 180° - ∠AOE= 180°-26° = 154°. (2)设∠AOE= 2x,∠EOC = 3x. ∵ ∠AOE = 1 2 ∠BOF- 10°,∴ ∠BOF = 4x + 20°. ∵ OF 平分∠BOE, ∴ ∠BOE= 2∠BOF= 8x+40°,∴ ∠AOE+∠BOE = 2x +8x+40° = 180°,∴ x= 14°,∴ ∠COE= 3x= 42°. 4. 30°或 150° 　 【解析】 ∵ ∠BOD = 2 ∠BOC,∴ ∠BOD + ∠BOC = 3∠BOC = 180°,∴ ∠BOC = 60°,又∵ OE⊥CD, 当点 E 在 CD 右方时,∴ ∠COE = 90°,∴ ∠BOE = 90° - 60° = 30°. 当点 E′在 EO 的延长线上时,∠BOE′= ∠COE′ +∠BOC= 90°+60° = 150°. 5. α+β 或 α-β 或 β-α　 【解析】当点 C 在 AD、BE 之间时, 过点 C 作 CH∥AD,则 AD∥CH∥BE,∵ ∠DAC = α,∴ ∠ACH=α. 又∵ ∠EBC=β,∴ ∠BCH = β,∴ ∠ACB =α+β; 当点 C 在 AD 的上方时,过点 C 作 CH′∥AD,则 AD∥CH′ ∥BE,∵ ∠DAC = α,∴ ∠ACH′ = α. 又 ∵ ∠EBC = β,∴ ∠BCH′=β,∴ ∠ACB = β-α;当点 C 在 BE 的下方时,同 法可得∠ACB=α-β. 6. 80°或 140° 　 【解析】当∠1 与∠2 的两边分别平行,∴ ∠1 = ∠2,设∠1 为 x,可得:x = 3 2 x- 70°,解得 x = 140°, ∴ ∠1 = ∠2 = 140°;当∠1 与∠2 的两边分别平行,∴ ∠1 +∠2 = 180°,设∠1 为 x,可得:x= 3 2 (180°-x)-70°,解得 x = 80°,∴ ∠1 = 80°,综上所述,∠1 的度数等于 80° 或 140°. 7. 60°或 120°　 【解析】分为两种情况:①∠CPD = ∠AOB = 60°;②∠CPD= 180°-∠AOB= 120°. 8. 50°或 130°　 【解析】分别过点 E 和点 F 作 EG∥AB,FH∥ AB,∴ EG∥FH∥AB,∵ AB∥CD,∴ EG∥FH∥AB∥CD,①如 图 1, ∵ EG∥AB ∥CD, ∴ ∠AME = ∠MEG, ∠CNE = ∠NEG,∴ ∠AME + ∠CNE = ∠MEG + ∠NEG = ∠MEN = 100°,∵ ∠AME 的平分线与∠CNE 的平分线交于点 F, ∴ ∠AMF = 1 2 ∠AME, ∠CNF = 1 2 ∠CNE, ∴ ∠AMF + ∠CNF= 1 2 (∠AME+∠CNE) = 50°. ∵ FH∥AB∥CD,∴ ∠MFH= ∠AMF,∠NFH = ∠CNF,∴ ∠MFN = ∠MFH + ∠NFH= ∠AMF+∠CNF= 50°, ②如图 2,∵ EG∥AB∥CD,∴ ∠BME = ∠MEG,∠DNE = ∠NEG,∴ ∠BME+ ∠DNE = ∠MEG+ ∠NEG = ∠MEN = 100°,∴ ∠AME + ∠CNE = 360° - ( ∠BME + ∠DNE) = 260°. ∵ ∠AME 的平分线与∠CNE 的平分线交于点 F, ∴ ∠AMF = 1 2 ∠AME, ∠CNF = 1 2 ∠CNE, ∴ ∠AMF + ∠CNF= 1 2 (∠AME+∠CNE)= 130°. ∵ FH∥AB∥CD,∴ ∠MFH= ∠AMF,∠NFH = ∠CNF,∴ ∠MFN = ∠MFH + ∠NFH= ∠AMF+∠CNF = 130°. 综上所述:∠MFN 的度 数为 50°或 130°. 图 1 　 图 2 9. 100 10. 解:∵ 梯形 ABCD 沿 AD 方向平移至梯形 EFGH, ∴ S梯形ABCD =S梯形EFGH,DC=HG= 20, ∴ S阴影部分 = S梯形DHGM = 1 2 × ( 20 - 5 + 20 ) × 8 = 140 (cm2 ). 故阴影部分的面积是 140cm2 . 11. B 　 【解析】 ∵ AD∥BC, ∴ ∠ACB = ∠CAD = 53°, ∴ ∠BCF= 53°- 26° = 27°. ∵ ∠BCF+∠EFC = 180°,∴ EF ∥BC,∴ ∠BEF+∠B= 180°,∴ ∠BEF= 125°. 故选 B. 12. B　 【解析】延长 BE 交 DC 的延长线于点 G. ∵ ∠BFE = 50°,∠EBF+∠FEB+∠BFE = 180°,∴ ∠EBF+∠BEF = 180°-50° = 130°,∵ ∠ABE 的平分线与∠BEC 的平分线 的反向延长线交于点 F,∴ ∠ABE + ∠BEF + ∠FEC = 260°,∵ AB∥CD,∴ ∠ABE = ∠BGC,∴ ∠BGC+∠BEF+ ∠FEC = 260°. ∵ ∠BEF + ∠FEG = 180°, ∴ ∠EGC + ∠CEG= 80°,∴ ∠ECG = 100°,∴ ∠ECD = 180°- 100° = 80°. 故选 B. 13. C 14. 50°　 【解析】分别过点 F 向右作 FM∥AB,过点 G 向左 作 GN∥AB,∵ AB∥CD,∴ FM∥AB∥GN∥CD,∴ ∠AEF = ∠EFM = 60°,∠MFG = ∠NGF,∠NGC = ∠C = 20°. ∵ ∠EFG = 90°, ∴ ∠MFG = ∠EFG - ∠EFM = 30°, ∴ ∠NGF= 30°,∴ ∠FGC= ∠NGF+∠NGC= 50°. 15. 40° 16. 解:【类比应用】 (1)过点 P 向左作 PE∥AB, ∵ AB∥CD,PE∥AB,∴ AB∥PE∥CD, ∴ ∠APE= ∠A= 50°,∠DPE+∠D= 180°, 61 ∴ ∠DPE= 180°-150° = 30°, ∴ ∠APD= ∠APE+∠DPE= 50°+30° = 80°; (2)α+β-∠P = 180° 　 【解析】过点 P 向右作 PE∥ AB,∵ AB∥CD, PE∥AB, ∴ AB∥PE∥CD, ∴ ∠DPE = ∠CDP = β,∠APE + ∠PAB = 180°,∴ ∠APE = 180° - α, ∠DPE = ∠DPA + ∠APE = ∠DPA+180°-α,∴ ∠β= ∠DPA+180°-α,∴ α+β -∠P= 180°. 【联系拓展】 设 PD 交 AN 于点 O,∵ AP⊥PD,∴ ∠APO= 90°, ∵ ∠PAN + 1 2 ∠PAB = ∠APD, ∴ ∠PAN + 1 2 ∠PAB = 90°, ∵ ∠POA + ∠PAN = 90°, ∴ ∠POA= 1 2 ∠PAB,∵ ∠POA = ∠NOD,∴ ∠NOD = 1 2 ∠PAB, ∵ DN 平分 ∠PDC, ∴ ∠ODN = 1 2 ∠PDC, ∴ ∠AND = 180° - ∠NOD - ∠ODN = 180°- 1 2 ( ∠PAB+ ∠PDC),由( 2) 得:∠CDP+ ∠PAB-∠APD= 180°,∴ ∠CDP+∠PAB = 180°+ ∠APD,∴ ∠AND = 180°- 1 2 (∠PAB+∠PDC) = 180°- 1 2 ( 180° + ∠APD) = 180° - 1 2 × ( 180° + 90°)= 45°. 实数 1. A　 【解析】无理数为无限不循环小数, π 3 , 7 为无理数, 共 2 个,故选 A. 2. C　 【解析】①(-3) 2 的算术平方根是 3,故错误;②4 的 平方根为±2,故正确;③一个实数的立方根是正数,0,负 数,故错误;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么 这个数是±1 或 0,故错误,故选 C. 3. B　 【解析】由题可得 b= 1 3 ,则 a= 6,ab = 6× 1 3 = 2,则 ab 的算数平方根是 2,故选 B. 4. 14　 【解析】由题可得 n-12 = 0,m-1 = 0,则 n= 12,m= 1, ∴ 2m+n= 2×1+12 = 14. 5. C　 【解析】∵ 1<x<2,∴ 1< x < 2,1<x2 <4. ∵ x>1. 5,∴ x <1. 414,∴ x <x<x2,故选 C. 6. 解:(1)<　 < (2) 17 - 16 　 n- n-1 (3)原式= 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +……+ n+1 - n = n+1 -1. 7. 解:(1)原式= 2-4-1 = -3; (2)原式= 2- 3 -(3-4-2)-9 = 2- 3 +3-9 = - 3 -4. 8. 解:(1)移项得:(x+2) 2 = 16, 开方得:x+2 = ±4, 解得 x= 2 或 x= -6. 　 　 　 (2)移项得: 1 3 (3x-2) 3 = -9, 即:(3x-2) 3 = -27, 开方得:3x-2 = -3, 3x= -1, 解得 x= - 1 3 . 9. 解:(1)∵ 一个数的平方根是 3a+1 和 a+11, ∴ 3a+1+a+11 = 0,解得 a= -3,则 3a+1 = -8, 故这个数为(-8) 2 = 64,则这个数的立方根为 4; (2)由 x-2 的平方根是±2,2x+y+7 的立方根是 3, 得 x-2 = 4,2x+y+7 = 27,解得 x= 6,y= 8. ∴ x2 +y2 = 100, ∴ x2 +y2 的算术平方根是 10. 追梦专项总结突破卷(二) 平面直角坐标系 1. B　 【解析】∵ 点 A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(-1, 0),点 C 的坐标为(3,0),∴ OA = 2,BC = 4,∴ S△ABC = 1 2 BC·OA= 1 2 ×2×4 = 4. 故选 B. 2. 解:(1)O(0,0),B(6,0),C(5,5); (2)S△OBC = 1 2 ×6×5 = 15. 3. 19　 【解析】过点 C 作 CE⊥y 轴,∵ A(- 2,- 1),∴ B(2, -1),C(4,3),D(0,4),AB 与 y 轴交于点 F,∴ S四边形ABCD = S△AFD+S梯形BCEF+S△CED = 1 2 ×2×5+ 1 2 ×(4+2)×4+ 1 2 ×1×4 = 19. 4. 解:过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,作 BD⊥x 轴于点 D,则 S四边形OABC =S△BCD +S梯形ABDE +S△OAE = 1 2 × 2× 8+ 1 2 ×(8+ 10)×8+ 1 2 ×4×10 = 8+72+20 = 100. 5. 4 6. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求,A1 ,B1 ,C1 的坐标 分别为(0,0),(-2,-1),(-3,2); (2)S△A1B1C1 = (1+3)×3 2 - 1 2 ×1×3- 1 2 ×1×2 = 7 2 . 7. (-1,0)或(5,0)　 【解析】设 P 点坐标为(x,0),根据题 意得 1 2 ·4· | 2-x | = 6,解得 x = - 1 或 5,∴ P 点坐标为 (-1,0)或(5,0) . 8. (5,0)或(0,-1)或(0,5) 　 【解析】∵ 点 A(-1,0),B(2, 0),C(0,2),∴ AB= 3,OC=OB = 2,∴ S△ABC = 1 2 ×(2+1)× 71