2024年中考数学复习专题讲义：整式的乘法与因式分解

2024年中考数学复习专题讲义：整式的乘法与因式分解 知识点讲解 1、整式的运算 (1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。去括号法则：同号得正，异号得负。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。 (3)添括号法则：同号得正，异号得负。 2、因式分解 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 练习 一、单选题 1．下列运算正确的是（　　） A．a8÷a4＝a2 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．（ab2）3＝ab6 2．要使的展开式中不含项，则（    ） A． B．0 C．1 D． 3．运用乘法公式计算（x+3）2的结果是(    ) A．x2+9 B．x2–6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9 4．下列各式能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 5．要使多项式不含的一次项，则( ) A． B． C． D． 6．下列代数式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．多项式：①，②，③，④，⑤．能用平方差公式分解因式的有（    ） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 8．对于一个正整数n，若能找到正整数，使得，则称n为一个“好数”，例如：，则就是一个“好数”，那么从到这个正整数中“好数”有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出如图所示的无盖长方体盒子，制作过程如下：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．则该无盖长方体盒子的体积可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（n为非负整数）当，1，2，3，……时的展开情况如下所示： 观察上面的式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示的杨辉三角，这是南宋数学家杨辉在其著作《九章算术》中列出的图，它揭示了展开后各项系数的情况，根据上述材料，你认为展开式中所有项系数的和是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 二、填空题 11．因式分解= ． 12．多项式分解因式的结果是 ． 13．一个长方形的长为2a+3b，宽为2b,则它的面积为 ． 14．如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 15．已知，则x的值为 ． 16．已知x=1﹣，y=1+，则x2+y2－xy－2x－2y的值为 ． 三、解答题 17．计算： （1） （2） （3） （4