追梦专项总结突破卷(四)多边形-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（华东师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(四) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂多边形 题型一　 等面积法及其应用 1. 如图,在△ABC 中,AB = AC,D 为 BC 边上一点,DE⊥AB,DF⊥ AC,BG⊥AC,垂足分别为点 E,F,G. 试说明:DE+DF=BG. 题型二　 三角形中线段的相关应用 2. 在△ABC 中,AB=AC,DB 为△ABC 的中线,且 BD 将△ABC 周长 分为 12 与 15 两部分,求三角形各边长. 3. 如图,已知 AM,AN 分别是△ABC 的高和中线,AB = 5 cm,AC = 12 cm,BC= 13 cm,∠BAC= 90°. 试求: (1)AM 的长; (2)△ABN 的面积; (3)△ACN 和△ABN 的周长差. 题型三　 与平行线、角平分线有关的问题 4. 如图 1,CE 平分∠ACD,AE 平分∠BAC,∠EAC+∠ACE= 90°. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 (1)请判断 AB 与 CD 的位置关系并说明理由; (2)如图 2,当∠E = 90°保持不变,移动直角顶点 E,使∠MCE = ∠ECD,当直角顶点 E 移动时,问∠BAE 与∠MCD 是否存在确 定的数量关系? 并说明理由; (3)如图 3,P 为线段 AC 上一定点,点 Q 为直线 CD 上一动点, ①当点 Q 在射线 CD 上运动时(点 C 除外),∠CPQ、∠CQP 与 ∠BAC 的数量关系是　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; ②当点 Q 在射线 CD 的反向延长线上运动时(点 C 除外), ∠CPQ、∠CQP 与∠BAC 的数量关系是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 题型四　 三角形折叠中的角度问题 5. 如图所示,在△ABC 中,∠ACB= 90°,点 D 在 AB 上,将△BDC 沿 CD 折叠,点 B 落在 AC 边上的点 B′处,若∠ADB′ = 20°,则∠A 的度数为(　 　 ) A. 20° B. 25° C. 35° D. 40° 6. 在三角形纸片中,点 D,E 分别在边 AC,BC 上,将∠C 沿 DE 折 叠,点 C 落在点 C′的位置. (1)如图 1,当点C落在边BC上时,若∠ADC′=58°,∠C=　 　 　 　 ; (2)如图 2,当点 C 落在△ABC 内部时,且∠BEC′ = 42°,∠ADC′ = 20°,求∠C 的度数; (3)如图 3,当点 C 落在△ABC 外部时,若设∠BEC′的度数为 x, ∠ADC′的度数为 y,请求出∠C 与 x、y 之间的数量关系. 图 1 　 图 2 　 图 3 ·13· 题型五　 多边形内角和与外角和综合应用 7. 在四边形 ABCD 中,∠B+∠D = 180°,∠DCE 是四边形 ABCD 的 一个外角. (1)如图 1,试判断∠DCE 与∠A 的数量关系,并说明理由; (2)如图 2,若∠B = 90°,AE 平分∠BAD,CF 平分∠DCE,且 AE 与 CF 相交于点 F,试判断 AE 与 CF 的位置关系,并说明理由. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 8. 如图①,∠1、∠2 是四边形 ABCD 的两个不相邻的外角. (1)猜想并说明∠1+∠2 与∠A、∠C 的数量关系; (2)如图②,在四边形 ABCD 中,∠ABC 与∠ADC 的平分线交于 点 O. 若∠A= 50°,∠C= 150°,求∠BOD 的度数; (3)如图③,BO、DO 分别是四边形 ABCD 外角∠CBE、∠CDF 的 平分线. 请直接写出∠A、∠C 与∠O 的数量关系　 　 　 　 　 . ① 　 ② 　 ③ 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂轴对称、平移与旋转 题型六　 图形的变换 9. 某校开展了“我为苏州园林设计 logo”项目学习活动. 如图是同 学们设计的四个图案,其中既是轴对称图形又是中心对称图形 的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 10. 如图,将△ABC 沿直线AB 向右平移2 cm 后到达△BDE 的位置,若 △ABC 的周长为 11 cm,则四边形 ADEC 的周长为(　 　 ) A. 13 cm B. 15 cm C. 16 cm D. 17 cm 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,将一块直角三角尺 AOB 绕直角顶点 O 按顺时针方向转 α 度后得到△COD,若∠AOD= 120°,则旋转角 α 等于(　 　 ) A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 12. 如图,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△AED,若线段 AB = 4,则 BE 的长为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 13. 将一块三角板△ABC 沿一条直角边 CB 所在的直线向右平移 m 个单位到 A′B′C′位置,如图所示. 下列结论:①AC∥A′C′且 AC = A′C′;②AA′∥BB′且 AA′=BB′;③S四边形ACC′D = S四边形A′DBB′;④ 若 AC= 5,m= 2,则 AB 边扫过的图形的面积为 5,正确的个数有 (　 　 ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 14. 如图,直角三角形 ABC,AC = 3,BC = 4,AB = 5,点 C、A 在直线 l 上,将△ABC 绕着点 A 顺时针转到位置①,得到点 P1,点 P1 在 直线 l 上,将位置①的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置②,得 到点 P2,点 P2 在直线 l 上,…,按照此规律继续旋转,直到得到 点 P2 024,则 AP2 024 = 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 第 15 题图 15. 如图,△ABC 的面积是 150,最长边 AB = 30,AD 平分∠BAC,点 M,N 分 别 是 AD, AC 上 的 动 点, 则 CM + MN 的 最 小 值 为　 　 　 　 . 题型七　 作图 16. 如图,在 8×8 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1 个 单位,△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在网格中画出△ABC 关于直线 MN 的对称图形△A1B1C1; (2)在网格中画出△ABC 向下平移 3 个单位长度,再向左平移 3 个单位长度得到△A2B2C2; (3) 在网格中画出 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后的图 形△A3B3C; (4)S△ABC = 　 　 　 　 (直接填写答案即可). ·23· ≤ k-10 4 <-2,解得-2≤k<2,即整数 k = -2,-1,0,1, 解方程得 y= 3k+3 2 ,∵ 关于 y 的方程 y-3 = 3k-y 的解 为非负整数,∴ 3k+3 2 ≥0,∴ k 为-1,1,符合条件的所 有整数 k 的和为 0. 故选 D. 17. B　 【解析】解不等式组得 x≥ a-8 3 x≤ 3 2 ì î í ï ï ï ï ,∵ 不等式组有三 个整数解,∴ a-8 3 ≤x≤ 3 2 ,整数解为-1,0,1,∴ -2< a-8 3 ≤-1,解得 2<a≤5,∴ 整数解 a = 3,4,5,解方程, 得 y= 2a-6,∵ 方程有正数解,∴ 2a-6>0,解得 a>3,综 上所述,a= 4,5,和为 4+5= 9. 故选 B. 18. 解: x -2y=m　 ① 2x+3y= 2m+4　 ②{ ,①+②得 3x+y = 3m+4,②- ①得 x + 5y = m + 4, 代入不等式组 3x +y≤0 x+5y>0{ , 得 3m+4≤0 m+4>0{ ,解不等式组,得- 4 <m≤ - 4 3 ,则 m = - 3 或 m= -2. 19. 解:设这个敬老院的老人有 x 位, 根据题意, 得 4x+28<5(x-1) +4 4x+28>5(x-1){ ,解得 29<x<33,因为 x 是整数, 所以 x 可取值 30,31,32,所以 x 最多为 32,则 4x+28 = 156(盒),即该校学生最多购买了 156 盒牛奶. 20. 解:(1) 设该超市购进甲商品 x 件,则购进乙商品 (80-x)件,根据题意,得 10x+30(80-x)= 1600,解得 x= 40,80-x= 40. 故该超市购进甲、乙两种商品各 40 件. (2)设该超市购进甲商品 y 件,则购进乙商品(80-y) 件,根据题意,得 10y +30(80-y)≤1640 (15-10)y+(40-30)(80-y)≥600{ , 解得 38≤y≤40,∵ y 为正整数,∴ y 取 38,39,40,相应 的 80-y 可取 42,41,40,而利润分别为 5×38+10×42 = 190+420 = 610 (元),5 × 39 + 10 × 41 = 195 + 410 = 605 (元),5×40+10×40 = 200+400 = 600(元),则该超市的 进货方案有三种:①购进甲商品 38 件,购进乙商品 42 件;②购进甲商品 39 件;购进乙商品 41 件;③购进甲 商品 40 件,购进乙商品 40 件. 其中该超市利润最大 的方案是购进甲商品 38 件,购进乙商品 42 件. 21. 解:(1)设 A 种优质茶叶的进货单价是每盒 x 元,B 种优质茶叶的进货单价是每盒 y 元. 由表格可得 5x+5y= 1500 5x+6y= 1700{ ,解得 x= 100 y= 200{ ,即 A 种优 质茶叶的进货单价是每盒 100 元,B 种优质茶叶的 进货单价是每盒 200 元; (2)设购进 A 种优质茶叶 m 盒,则购进 B 种优质茶 叶 ( 30 - m ) 盒. 由 题 意, 得 100m+200(30-m)≤4500 (180-100)m+(300-200)(30-m)≥2660{ ,解得 15 ≤m≤17,∵ m 为整数,∴ m 可取 15,16,17,∴ 商家 进货方案有 3 种:①购进 A 种优质茶叶 15 盒,购进 B 种优质茶叶 15 盒;②购进 A 种优质茶叶 16 盒,购 进 B 种优质茶叶 14 盒;③购进 A 种优质茶叶 17 盒, 购进 B 种优质茶叶 13 盒. 追梦专项总结突破卷(四) 1. 证明:连结 AD. 则 S△ ABC = S△ ABD+S△ ACD, 1 2 AB·DE+ 1 2 AC·DF= 1 2 AC·BG. ∵ AB=AC,∴ DE+DF=BG. 2. 解:∵ DB 为△ABC 的中线,∴ AD = CD. 设 AD = CD = x,则 AB= 2x. 当 x+2x= 12,解得 x= 4,BC+x= 15,解得 BC= 11,此时△ABC 的三边长为:AB = AC = 8,BC = 11;当 x+2x = 15,BC+x = 12,解得 x = 5,BC = 7,此时 △ABC 的三边长为:AB = AC = 10,BC = 7. 故△ABC 的 三边长为 8、8、11 或 10、10、7. 3. 解:(1) ∵ ∠BAC = 90°,AM 是边 BC 上的高,∴ 1 2 AB ·AC= 1 2 BC·AM,∴ AM = 5×12 13 = 60 13 ( cm),即 AM 的 长度为 60 13 cm; (2)由题意,得 S△ ABC = 1 2 AB·AC = 30( cm2 ). 又∵ AN 是△ABC 的中线,S△ ABN = S△ ANC,∴ S△ ABN = 1 2 S△ ABC = 15(cm2),∴ △ABN 的面积是 15cm2; (3)∵ AN 为 BC 边上的中线,∴ BN = NC,∴ AC+AN+ CN-(AB + BN + AN) = AC - AB = 12 - 5 = 7 ( cm),即 △ACN 和△ABN 的周长的差是 7cm. 4. 解:(1) AB∥CD. 理由如下:∵ CE 平分∠ACD,AE 平 分∠BAC, ∴ ∠BAC = 2 ∠EAC, ∠ACD = 2 ∠ACE, ∵ ∠EAC+∠ACE= 90°,∴ ∠BAC+∠ACD = 180°,∴ AB∥ CD; (2)存在,∠BAE+ 1 2 ∠MCD = 90°. 理由如下:过点 E 向右作 EF∥AB. ∵ AB∥CD,∴ EF∥AB∥CD,∴ ∠BAE = ∠AEF,∠FEC = ∠DCE,∵ ∠AEC = 90°,∴ ∠BAE+ ∠ECD= 90°,∵ ∠MCE = ∠ECD,∴ ∠BAE+ 1 2 ∠MCD = 90°; (3) ①∠BAC = ∠PQC+∠QPC 　 ②∠PQC+∠QPC+ ∠BAC= 180° 5. C 　 【解析】 ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠A + ∠B = 90°. ∵ △CDB′是由△CDB 翻折得到的,∴ ∠CB′D = ∠B. ∵ ∠CB′D= ∠A+∠ADB′ = ∠A+20°,∴ ∠B = ∠A+20°, ∴ ∠A+∠A+20° = 90°,解得∠A= 35°. 故选 C. 6. 解:(1)29° (2)∵ ∠BEC′ = 42°,∠ADC′ = 20°,∴ ∠CEC′ = 180°- ∠BEC′= 138°,∠CDC′= 180°-∠ADC′= 160°,由折叠 得 ∠CDE = ∠C′ DE = 1 2 ∠CDC′ = 80°, ∠DEC = ∠DEC′ = 1 2 ∠CEC′ = 69°, ∴ ∠C = 180° - ∠EDC - ∠DEC= 31°; (3)∵ ∠BEC′ = x,∠ADC′ = y,∴ ∠CEC′ = 180°-x,由 折叠得∠CDE = ∠C′DE = 1 2 (180° +∠ADC′) = 90° + 1 2 y,∠DEC= ∠DEC′= 1 2 ∠CEC′= 90°- 1 2 x,∴ ∠C = 180°-∠EDC-∠DEC= 180°-(90°+ 1 2 y) -(90°- 1 2 x) 追梦之旅铺路卷·七年级下·HS·数学　 第 17 页 = 1 2 x- 1 2 y. 7. 解:(1) ∠DCE = ∠A,理由如下:在四边形 ABCD 中, ∠B+∠D+∠A+∠BCD = 360°,∵ ∠B+∠D = 180°,∴ ∠A+∠BCD = 360°- 180° = 180°,∵ ∠DCE+∠BCD = 180°,∴ ∠DCE= ∠A; (2) AE ⊥ CF, 理由如下: ∵ ∠B + ∠EAB + ∠AEB = 180°,∠B = 90°,∴ ∠EAB+∠AEB = 180° - 90° = 90°, ∵ AE 平分 ∠BAD, CF 平分 ∠DCE, ∴ ∠EAB = 1 2 ∠BAD,∠ECF = 1 2 ∠DCE,由(1)知∠DCE = ∠BAD, ∴ ∠EAB= ∠ECF,∴ ∠ECF+∠AEB= 90°,∴ ∠CFE = 180°-(∠ECF+∠AEB)= 90°,∴ AE⊥CF. 8. 解: ( 1) 猜想: ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C. 理由: ∵ ∠1 + ∠ABC+∠2+∠ADC = 360°,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC = 360°,∴ ∠1+∠2 = ∠A+∠C; (2)∵ ∠A= 50°,∠C= 150°,∴ ∠ABC+∠ADC = 360°- 200° = 160°. 又∵ BO、DO 分别平分∠ABC 与∠ADC, ∴ ∠OBC = 1 2 ∠ABC,∠ODC = 1 2 ∠ADC,∴ ∠OBC + ∠ODC= 1 2 (∠ABC+∠ADC)= 80°,∴ ∠BOD = 360°- (∠OBC+∠ODC+∠C)= 130°; (3)∠C-∠A= 2∠O　 【解析】∵ BO、DO 分别是四边 形 ABCD 外角∠CBE、∠CDF 的平分线,∴ ∠FDC = 2∠FDO = 2 ∠ODC,∠EBC = 2 ∠EBO = 2 ∠CBO,由 (1) 可 知: ∠FDO + ∠EBO = ∠A + ∠O, 2 ∠FDO + 2 ∠EBO= ∠A+∠C,∴ 2∠A+2∠O = ∠A+∠C,∴ ∠C- ∠A= 2∠O. 9. B 10. B　 【解析】由平移的性质可知,AB =BD =CE = 2cm, ∵ △ABC 的周长为 11cm,即 AB+BC+AC = 11cm,∴ 四边形 ADEC 的周长为 AC+AB+BD+DE+CE = 11+2 +2 = 15(cm) . 故选 B. 11. D　 【解析】由题意,得∠AOC= ∠BOD=α,∵ ∠AOD= 120°=∠AOB+∠BOD,∴ ∠BOD= 30°=α. 故选 D. 12. B 13. B　 【解析】∵ 三角板 ABC 沿一条直角边 CB 所在的 直线向右平移 m 个单位到△A′B′C′位置,∴ AC∥A′ C′且 AC= A′C′;AA′∥BB′且 AA′ = BB′,故①②正确; ③根据平移可知,S△ABC = S△A′B′C′,∵ S四边形ACC′D = S△ABC - S△BC′D, S四边形A′DBB′ = S△A′B′C′ - S△BC′D, ∴ S四边形ACC′D = S四边形A′DBB′,故③正确;④根据平移可知,BB′ = m = 2, 则 AB 边扫过的图形的面积为:S四边形ABB′A′ = 2×5 = 10, 故④错误;综上分析可知,正确的有 3 个. 故选 B. 14. 8097　 【解析】由题意,得将△ABC 绕点 A 顺时针旋 转到①,可得到点 P1,此时 AP1 = 5;将位置①的三角 形绕点 P1 顺时针旋转到位置②,可得到点 P2,此时 AP2 = 5+4 = 9;将位置②的三角形绕点 P2 顺时针旋 转到位置③,可得到点 P3,此时 AP3 = 5+4+3 = 12;又 ∵ 2024÷3 = 674……2,∴ AP2024 = 674×12+9 = 8097. 15. 10　 【解析】取点 N 关于 AD 的对称点 E. ∵ AD 平分 ∠BAC,∴ 点 E 在 AB 上. ∵ 点 N 与点 E 关于 AD 对 称,∴ MN=ME. ∴ CM+MN=CM+ME. 当 CE⊥AB 时, CE 有最小值,即 CM+MN 有最小值. ∵ △ABC 的面 积是 150,∴ 1 2 AB·CE = 150,即 1 2 × 30CE = 150,解 得 CE= 10. 16. 解: ( 1) 如图, △A1B1C1 为所 作; (2)如图,△A2B2C2 为所作; (3)如图,△A3B3C 为所作; (4)2　 【解析】S△ABC = 2×3- 1 2 ×1×1- 1 2 ×1×3- 1 2 ×2×2 = 2. 追梦期末达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C B B C A B B C 1. D 2. C　 【解析】把 x= 5 代入方程 ax-8 = 20+a,得:5a-8 = 20+a,解得 a= 7. 故选 C. 3. C　 【解析】∵ 10-8<AB<10+8,∴ 2<AB<18,∴ 不可能 是 20 米. 故选 C. 4. B　 5. B 6. C　 【解析】A. 正三角形的每个内角是 60°,能整除 360°,能密铺,故 A 不符合题意;B. 正方形的每个内 角是 90°,4 个能密铺,故 B 不符合题意;C. 正八边形 每个内角是 180° -360° ÷8 = 135°,不能整除 360°,不 能密铺,故 C 符合题意;D. 正六边形的每个内角是 120°,能整除 360°,能密铺,故 D 不符合题意. 故选 C. 7. A　 【解析】∵ x= 2y= 1{ 是二元一次方程组 mx+ny= 8 nx-my= 1{ 的 解,∴ 2m+n= 8①2n-m= 1②{ ,①+②得,m+3n= 9,故选 A. 8. B 9. B　 【解析】∵ △DEF 是直角三角形 ABC 沿着斜边 AC 的方向平移后得到的,且 A、D、C、F 四点在同一条直 线上,∴ BE∥AC,AB∥DE,BC = EF,BE = CF,故 C 正 确,不符合题意;∴ ∠EDC = ∠A,∠EDC = ∠BED,∴ ∠A= ∠BED,故 A 正确,不符合题意;∵ BG = 4,∴ AD =BE>BG,∴ △ABC 平移的距离>4,故 B 错误,符合 题意;∵ EF= 10,∴ CG = BC-BG = EF-BG = 10-4 = 6, ∵ △BEG 的面积等于 4,∴ 1 2 BG·GE = 4,∴ GE = 2, ∴ 四边形 GCFE 的面积= 1 2 ×(6+10)×2 = 16,故 D 正 确,不符合题意. 故选 B. 10. C 　 【解析】 由题意可得 ∠P1MA = 90°,∠DMP1 = ∠DMA,∴ ∠DMP1 = ∠DMA = 45°,在△ADM 中,∠A = 90°,∴ ∠ADM = 90° - ∠DMA = 45°,由折叠可知 ∠ADP = ∠PDM = ∠MDP1 = 1 2 ∠ADM = 22. 5°,∴ ∠DP1M = 180° - ∠DMP1 - ∠MDP1 = 180° - 45° - 22. 5° = 112. 5°. 故选 C. 11. 4x-1 12. 12　 【解析】设这个多边形的边数为 n,根据题意得, (n-2)×180° = 5×360°,解得 n= 12. 13. ①③④　 【解析】∵ △ABC≌△AEF,∴ AC = AF,EF = BC,∠BAC= ∠EAF,∴ ∠EAB = ∠FAC,故①③④正 确. 14. 1　 【解析】由不等式 3(x+1)-2≤4(x-3)+1,可得 x ≥12,∴ 该不等式的最小整数解为 x = 12,∵ 不等式 3(x+1)-2≤4(x-3)+1 的最小整数解是方程 1 2 x-m = 5 的解,∴ 1 2 ×12-m= 5,解得 m= 1. 追梦之旅铺路卷·七年级下·HS·数学　 第 18 页