追梦专项总结突破卷(一)一元一次方程&追梦专项总结突破卷(二)二元一次方程组-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（华东师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(一) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂一元一次方程 题型一　 解一元一次方程 1. 解方程: (1)4(x-1)= 1-3(x-3);　 　 (2)2[ x 3 -( 2 3 x- 1 2 )] = 3(x +1) 4 . 题型二　 求方程中待定字母的值 2. 已知关于 x 的方程2x -a 3 -x-a 2 = x-1 与方程 3(x-2)= 4x-5 同解, 求 a 的值. 3. 马小虎同学在解关于 x 的一元一次方程2x -1 3 = x+a 3 - 1 去分母 时,方程右边的-1 漏乘了 3,因而求得方程的解为 x = -2,请你 帮助马小虎同学求出 a 的值,并求出原方程正确的解. 题型三　 解含有绝对值的方程 4. 阅读材料:由绝对值的意义可知:当 a≥0 时, | a | = 　 　 　 　 ;当 a<0 时, | a | = 　 　 　 . 利用这一特性,可以帮助我们解含有绝对 值的方程. 比如:方程 | x-2 | = 3, 当 x-2≥0 时,原方程可化为 x-2 = 3,解得 x= 5; 当 x-2<0 时,原方程可化为 x-2 = -3,解得 x= -1. 所以原方程的解是 x= 5 或 x= -1. (1)请补全题目中横线上的结论. (2)仿照上面的例题,解方程: | 3x+1 | -5 = 0. (3)若方程 | x-1 | =m-1 有解,则 m 应满足的条件是　 　 　 . 题型四　 一元一次方程的应用 5. 一些相同的房间需要粉刷墙面,一天,3 名一级技工去粉刷 8 个 房间,结果其中有 50 m2 墙面未来得及粉刷;同样时间内,5 名二 级技工粉刷了 10 个房间之外,还多粉刷了另外的 40 m2 墙面. 已知每名同级别的技工每天的工作效率相同,每名一级技工比 二级技工一天多粉刷 10 m2 墙面. 求每个一级技工和二级技工 每天粉刷的墙面各有多少平方米. 6. 某市自来水公司为了鼓励居民节约用水,规定按以下标准收取 水费: 用水量 / 月 单价(元 / m3) 不超过 20 m3 2. 05 超过 20 m3 的部分 3. 05 另:每立方米用水加收 0. 8 元的城市污水 处理费和 0. 15 元的城市附加费 (1)根据上表,用水量每月不超过 20 m3,实际每立方米收水费 多少元? 如果 10 月份某用户用水量为 18 m3,那么该用户 10 月 份应该缴纳水费多少元? (2)某用户 11 月份共缴纳水费 80 元,那么该用户 11 月份用水 多少 m3? (3)若该用户水表 12 月份出了故障,有 25%的水量没有计入水 表中,这样该用户在 12 月份只缴纳了 54 元水费,问该用户 12 月份实际应该缴纳水费多少元? 7. 已知数轴上的原点为 O,A、B、C 三点对应的数分别为-16,8 和 12,动点 P 从点 A 出发,以每秒 2 个单位的速度沿数轴正方向运 动,同时,动点 Q 从点 C 出发,以每秒 1 个单位的速度沿数轴负 方向运动,设点 P 的运动时间为 t 秒. (1)线段 AB 的长为　 　 　 　 ,线段 AC 的长为　 　 　 　 . (2)当点 P 运动到与点 A、B 距离相等时,求点 P 表示的数. (3)当 P、Q 两点相遇时,求 t 的值. (4)当 PO+QB= 10 时,直接写出 t 的值. ·72· 追梦专项总结突破卷(二) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂二元一次方程组 题型一　 解二元一次方程组 类型一　 选择适当的方法解方程组 1. 解下列方程组. (1) y= 2x-3 x+y= 10{ ;　 　 　 　 　 　 　 (2) 2x+y= 3 x-y= 6{ . 类型二　 换元法 2. 【阅读材料】 小明同学遇到下列问题:解方程组 2x+3y 4 +2x-3y 3 = 7 2x+3y 3 +2x-3y 2 = 8 ì î í ï ïï ï ïï ,他发现如 果直接用代入消元法或加减消元法求解,计算量比较大,也容易 出错. 如果把方程组中的(2x+3y)看作一个数,把(2x-3y)看作 一个数,通过换元,可以解决问题. 以下是他的解题过程: 令 m = 2x+ 3y,n = 2x- 3y,这时原方程组化为 m 4 + n 3 = 7 m 3 + n 2 = 8 ì î í ï ïï ï ïï ,解得 m= 60 n= -24{ ,把 m= 60 n= -24{ 代入 m = 2x+3y,n = 2x-3y,得 2x+3y= 60 2x-3y= -24{ , 解得 x= 9 y= 14{ . 所以原方程组的解为 x= 9 y= 14{ . 【解决问题】 请你参考小明同学的做法,解决下面的问题: 解方程组 x+y 3 +x-y 5 = 2 x+y 3 -x-y 5 = -1 ì î í ï ïï ï ïï . 题型二　 解含参的二元一次方程组 3. 若关于 x、y 的方程组 x+2y=a-1 x-y= 4{ 的解满足 x 与 y 互为相反数, 则 a 的值是(　 　 ) A. -1　 　 　 　 B. 0　 　 　 　 　 C. 1　 　 　 　 　 　 D. 2 4. 如果方程组 ax-by= 18 2x+y= 7{ 与 x= y-1 ax+by= -6{ 有相同的解,则(a+b) 2 0 2 3 的值是(　 　 ) A. 2023 B. 1 C. 0 D. -1 5. 解方程组 ax+by= 6 cx-4y= -2{ 时,小强正确解得 x= 2 y= 2{ ,而小刚只看错了 c,解得 x= -2 y= 4{ ,则当 x= -1 时,ax 2 +bx+c 的值是(　 　 ) A. 6 B. 2 C. 0 D. -8 6. 关于 x,y 的二元一次方程组 x-y= 3a x+3y= 2-a{ ,甲、乙两人的判断如 下. 甲:当这个方程组的解 x,y 的值相等时,a= -1;乙:无论 a 取 何值,x+2y 的值始终不变. 则(　 　 ) A. 甲的判断正确 B. 乙的判断正确 C. 甲、乙的判断都正确 D. 甲、乙的判断都不正确 题型三　 二元一次方程组的应用 7. 盲盒近来火爆,这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱, 一服装厂用某种布料生产玩偶 A 与玩偶 B 组合成一批盲盒,一 个盲盒搭配 1 个玩偶 A 和 2 个玩偶 B,已知每米布料可做 1 个 玩偶 A 或 3 个玩偶 B,现计划用 135 米这种布料生产这批盲盒 (不考虑布料的损耗),设用 x 米布料做玩偶 A,用 y 米布料做玩 偶 B,使得恰好配套,则下列方程组正确的是(　 　 ) A. x+y= 135 x= 3y{ B. x+y= 135 x= 2y{ C. x+y= 135 3x= y{ D. x+y= 135 2x= 3y{ 8. 如图,大长方形 ABCD 中无重叠地放置 9 个形 状、大小都相同的小长方形,已知大长方形的长 与宽的差为 2,小长方形的周长为 14,则图中空 白部分的面积为(　 　 ) A. 143 B. 99 C. 44 D. 53 9. 李师傅加工 1 个甲种零件和 1 个乙种零件的时间分别是固定 的,现知道李师傅加工 3 个甲种零件和 5 个乙种零件共需 55 分 钟;加工 4 个甲种零件和 9 个乙种零件共需 85 分钟. 则李师傅 加工 2 个甲种零件和 4 个乙种零件共需　 　 　 　 分钟. 10. 小明在匀速行驶的汽车里,某一个时刻看到公路里程碑上的数 是一个两位数;30 分钟后,里程碑上的数字与第一次看到的两 位数正好互换了两个数字的位置;再过 20 分钟,里程碑上的数 是在第一次看到的两位数的两个数字中间添加了一个“0”. 则 第一次看到的里程碑上的数字为 　 　 　 　 . 11. 为了打造区域中心城市,实现跨越发展,我市花城新区建设正 按投资计划有序推进,花城新区建设工程部因道路建设需要开 挖土石方,计划每小时挖掘土石方 540 m3,现决定向某大型机 械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作,租 赁公司提供的挖掘机有关信息如下表: 租金 单位:元 / (台·时) 挖掘土石方量 单位:m3 / (台·时) 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共 8 台,恰好完成每小时 的挖掘量,则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台? (2)如果每小时支付的租金不超过 850 元,又恰好完成每小时 的挖掘量,那么共有几种不同的租用方案? ·82· =BE+FD. ……(5 分) 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BAD = 90°. 由翻折可知:∠BAE = ∠GAE,∠DAF = ∠GAF, BE = GE, DF = GF, ∴ ∠EAF = ∠GAE + ∠GAF = 1 2 ∠BAD= 45°,EF=GE+GF=BE+FD. ……(10 分) 22. 解:(1)①同旁内角互补,两直线平行 ……(2 分) ②105° ……(5 分) (2)由旋转可知∠B′DC′= ∠BAC = 45°,∴ ∠B′DF = ∠EDF-∠B′DC′= 60°-45° = 15°. ……(10 分) 23. 解:(1)BD=CE,CE⊥BD ……(2 分) 　 　 ……(4 分) (2)BD=EC,BD⊥EC. ……(5 分) 证明: ∵ △ADB 绕着点 A 顺时针旋转 90° 得到 △ACE,∴ △ADB≌△ACE,∠EAB = 90°,∴ BD = EC, ∠E = ∠B. ∵ ∠E + ∠AGE = 90°, ∴ ∠B + ∠AGE = 90°. ∵ ∠AGE = ∠BGF, ∴ ∠B + ∠BGF = 90°, ∴ ∠BFE= 180°-(∠B+∠BGF)= 90°,∴ BD⊥EC; ……(8 分) (3)①40　 ②30　 ③7 ……(11 分) 【解析】 ∵ △ABC 绕着点 A 逆时针旋转 40° 得到 △ADE,∴ ∠BAD= 40°,AB=AD,BC =DE = 10,∴ ∠B = ∠ADB= (180°-∠BAD)÷2 = (180°-40°)÷2 = 70°. ∵ △BAD 和△FAD 关于直线 AD 对称,则△BAD≌ △FAD,∴ ∠ADF = ∠ADB = 70°,∠BAD = ∠FAD = 40°,BD=DF = 3,∴ ∠CDE = 180°-∠ADF-∠ADB = 180°- 70° - 70° = 40°, ∠C = 180° - ∠B - ∠BAD - ∠DAC= 180°-70°-40°-40° = 30°. ∴ EF = DE-DF = BC-BD= 10-3 = 7. 追梦专项总结突破卷(一) 1. 解:(1)去括号,得 4x-4 = 1-3x+9. 移项,得 4x+3x = 1 +9+4. 合并同类项,得 7x= 14. 两边都除以 7,得 x= 2; (2)原方程两边分别去括号,得 2 3 x- 4 3 x+1 = 3 4 x+ 3 4 , 去分母,得 8x-16x+12 = 9x+9. 移项,得 8x-16x-9x= 9 -12,即-17x= -3,两边都除以-17,得 x= 3 17 . 2. 解:解方程 3(x-2) = 4x- 5 得 x = - 1. 将其代入方程 2x-a 3 -x -a 2 = x-1 中,得 2×( -1) -a 3 - -1-a 2 = -1-1,解得 a= -11. 3. 解:根据题意 x= -2 是方程 2x-1 = x+a-1 的解,将 x = -2 代入得-4-1 = -2+a-1,解得 a = -2,把 a = -2 代入 原方程得 2x-1 3 =x -2 3 -1,解得 x= -4. 4. 解:(1)a　 -a (2)原方程化为 | 3x+1 | = 5,当 3x+1≥0 时,方程可化 为 3x+1 = 5,解得 x= 4 3 ,当 3x+1<0 时,方程可化为 3x +1 = -5,解得 x= -2,所以原方程的解是 x = 4 3 或 x = -2; (3)m≥1 5. 解:设每个二级技工每天粉刷墙面 xm2,则每个一级 技工每天粉刷墙面( x+10) m2,根据题意,得 5x-40 10 = 3(x+10) +50 8 ,解得 x = 112,x+10 = 122. 答:每个一级 技工 每 天 粉 刷 122m2, 每 个 二 级 技 工 每 天 粉 刷 112m2 . 6. 解:(1)根据表中数据可知,每月不超过 20m3,实际每 立方米收水费 2. 05+0. 8+0. 15 = 3(元),10 月份某用 户用水量为 18m3,不超过 20m3,∴ 该用户 10 月份应 该缴纳水费 18×3 = 54(元); (2)由(1)知用水量不超过 20m3 时,实际每立方米收 水费 3 元,20 × 3 = 60 < 80,∴ 11 月份用水量超过了 20m3,设 11 月份用水量为 xm3,根据题意列方程得, 20×3+(x-20) ×(3. 05+0. 8+0. 15) = 80,解得 x = 25. 答:该用户 11 月份用水 25m3; (3)由(1)知用水量不超过 20m3 时,实际每立方米收 水费 3 元,20×3 = 60>54,∴ 水表 12 月份出故障时收 费按没有超过 20m3 计算,设 12 月份实际用水量为 ym3,根据题意列方程得,y(1-25%) ×3 = 54,解得 y = 24,20×3+(24-20) ×(3. 05+0. 8+0. 15)= 76(元) . 答: 该用户 12 月份实际应该缴纳水费 76 元. 7. 解:(1)24　 28 (2)设点 P 表示的数为 x,则 x-( -16)= 8-x,解得 x= -4,即点 P 表示的数为-4; (3)由题意得 2t+t= 28,解得 t= 28 3 ; (4) t= 10 3 或 10. 追梦专项总结突破卷(二) 1. 解:(1) y=2x-3①x+y=10②{ ,把①代入②得 x+2x-3=10,解得 x= 13 3 ,把 x= 13 3 代入①得 y= 17 3 ,故原方程组的解是 x= 13 3 y= 17 3 ì î í ï ï ï ï ; (2) 2x+y= 3①x-y= 6②{ ,①+②得 3x= 9,解得 x= 3,把 x= 3 代 入②得 3 - y = 6,解得 y = - 3,故原方程组的解是 x= 3 y= -3{ . 2. 解:令 m= x+y 3 ,n= x-y 5 ,原方程组可化为 m+n= 2m-n= -1{ ,解 得 m= 1 2 n= 3 2 ì î í ï ï ï ï ,把 m = 1 2 ,n = 3 2 代入 m = x+y 3 ,n = x-y 5 ,得 x+y 3 = 1 2 x-y 5 = 3 2 ì î í ï ï ï ï ,解得 x= 9 2 y= -3 { . 3. A　 【解析】由题意,得到 x+y = 0,即 x = -y,代入方程 组得 -y+2y= a-1 -y-y= 4{ ,解得 a= -1. 故选 A. 4. D 　 　 【解析】 由题意,得 2x+y= 7x= y-1{ ,解得 x= 2 y= 3{ ,∴ 2a-3b= 18 2a+3b= -6{ ,解得 a= 3 b= -4{ ,∴ (a+b) 2 0 2 3 = -1. 故选 D. 5. B 　 【解析】 由题意得, 2a+2b= 6-2a+4b= 6{ ,解得 a= 1 b= 2{ ,把 x= 2 y= 2{ 代入 cx-4y= -2,得 c = 3,当 x = -1 时,x 2 +2x+3 追梦之旅铺路卷·七年级下·HS·数学　 第 15 页 = 2. 故选 B. 6. B　 【解析】当 x= y 时,得 3a= 0,a= 0,∴ 甲判断错误. 解方程组 x-y= 3a① x+3y= 2-a②{ ,得 x= 2a+ 1 2 y= 1 2 -a ì î í ï ï ï ï . ∴ x+2y = 3 2 . ∴ 乙判断正确. 故选 B. 7. D 8. D　 【解析】设小长方形的长为 x,宽为 y,观察图形可 得 (x+4y)-(3y+x)= 2 x+y= 7{ ,解得 x= 5 y= 2{ ,小长方形的面积 为 5×2 = 10,大长方形的面积为 11×13 = 143,空白部 分面积为 143-9×10 = 53. 故选 D. 9. 40　 【解析】设李师傅加工 1 个甲种零件需要 x 分 钟,加工 1 个乙种零件需要 y 分钟,根据题意,可列方 程组 3x+5y= 55① 4x+9y= 85②{ ,由①+②得 7x+14y= 140,所以 x+ 2y= 20,则 2x+4y= 40,所以李师傅加工 2 个甲种零件 和 4 个乙种零件共需 40 分钟. 10. 17　 【解析】设第一次看到的里程碑上的两位数的十 位数字为 x,个位数字为 y,依题意得 10y+x-(10x+y) 30 = 100x +y-(10y+x) 20 ,∴ y= 7x,又∵ x,y 均为一位数,且 x,y 均为正整数,∴ x= 1y= 7{ ,∴ 10x+y = 17,即第一次看 到的里程碑上的数字为 17. 11. 解:(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需 x 台、y 台, 依题意得 x+y= 8 60x+80y= 540{ ,解得 x= 5 y= 3{ . 答:需甲种型 号挖掘机 5 台,乙种型号挖掘机 3 台. (2)设租用 m 台甲型挖掘机,n 台乙型挖掘机,依题 意得 60m+80n= 540,化简得 3m+4n= 27,∴ m= 9- 4 3 n,易知 m,n 为正整数,方程的解为 m= 5n= 3{ 或 m= 1 n= 6{ , 当 m = 5,n = 3 时,支付租金 100 × 5 + 120 × 3 = 860 (元),860 元>850 元,超出限额;当 m = 1,n = 6 时, 支付租金 100×1+120×6 = 820(元),符合要求. 答: 只有一种租用方案,租用 1 台甲型挖掘机和 6 台乙 型挖掘机. 追梦专项总结突破卷(三) 1. 解:(1)去括号,得 5x+1≤3x-3. 移项,得 5x-3x≤-3 -1. 合并同类项,得 2x≤-4. 两边同除以 2,得 x≤-2. (2)去分母,得 60x- 4(2x+ 3) < 5( x+ 2),去括号,得 60x-8x-12<5x+10,即 52x-12<5x+10,移项,得 52x- 5x<10+12,即 47x<22. 两边都除以 47,得 x< 22 47 . (3)解不等式①得 x<3,解不等式②得 x≥2,则不等 式组的解集为 2≤x<3. (4)解不等式①得 x>1,解不等式②得 x<4,则不等式 组的解集为 1<x<4. 2. 解:移项,得- 4x- 3x≥ - 6 - 8. 合并同类项,得- 7x≥ -14. 两边同除以-7,得 x≤2. ∴ 正整数解为 1,2. 3. 解:由①得:x>1,由②得:x≤5,则不等式组的解集为 1<x≤5,则不等式组的最大正整数解为 5. 4. 解: 3x-11<x-5①4(x+1)≤7x+10②{ ,解不等式①得 x< 3. 解不等 式②得 x≥-2,把①、②的解集在数轴上表示. 如图所 示: ∴ 不等式组的解集为:-2≤x<3. 不等式组的整数解 为-2,-1,0,1,2,-2+( -1) +0+1+2 = 0. 5. D 6. A　 【解析】根据题意得, 2x-1≥1-x1-x-(2x-1)>-1{ ,解不等 式组得 2 3 ≤x<1. 故选 A. 7. 解:(1)∵ 2※3 = 1,3※( -1)= 10,∴ 2a-3b+5 = 13a+b+5 = 10{ ,解 得 a= 1 b= 2{ ; (2)∵ 不等式组 x※(2x-3)<93x※(-6)<t{ ,且 a= 1,b= 2,∴ ax-b(2x -3)+5=-3x+11<9,3ax+6b+5=3x+17<t,解得 x> 2 3 x< t-17 3 ì î í ï ï ï ï ,∵ 关于 x 的不等式组有且只有一个整数解,∴ 1< t-17 3 ≤2, 解得 20<t≤23,∴ t 的取值范围是 20<t≤23. 8. 解:(1)0 (2)解不等式组得 1≤x<2a,由题意得 x 有 4 个正整 数解,为 1,2,3,4,∴ 4<2a≤5,解得 2<a≤2. 5; (3)由题意得,m 是正整数,且 p≤x<m 有(m-3)个正 整数解,∴ 2<p≤3, m 2 = 5,∴ m= 10. 9. C　 【解析】解不等式,得 x< 1 3 a+2,∵ 不等式 2(x+3)- 5x+a>0 的解集中恰有 3 个非负整数,∴ 3 个非负整数 解是 0,1,2,∴ 2< 1 3 a+2≤3,解得 0<a≤3. 故选 C. 10. C 11. A　 【解析】解不等式 x-4<0 得 x<4,又∵ x≥m,且 不等式组有解,∴ m<4. 故选 A. 12. D　 【解析】 3x+6>x-4①m-x<0②{ ,由①得 x>-5,由②得 x> m,∵ 关于 x 的不等式组的解为 x>-5,∴ m≤-5. 故 选 D. 13. C　 【解析】 x+6<2+3x① a+2x 4 >x②{ ,解不等式①得 x>2,解不 等式②得 x< a 2 ,∴ 原不等式组的解集为 2<x< a 2 ,∵ 不等式组有且只有四个整数解,∴ 6< a 2 ≤7,∴ 12<a ≤14. 故选 C. 14. B　 【解析】两方程相加,得 2x+2y= 2m+4,∴ x+y =m +2,∵ x+y>0,∴ m+2>0,解得 m>-2. 故选 B. 15. 解:(1)解不等式组得 x≥a+1x<4{ ,∵ 不等式组有且只 有 4 个整数解,∴ a+1≤x<4,整数解为 0,1,2,3,∴ -1<a+1≤0,解得-2<a≤-1; (2)∵ 不等式组有解,解集中的任何一个 x 值均不在 x≤2 的范围内,∴ 2<a+1<4,解得 1<a<3. 16. D　 【解析】解不等式组,得 x> k-10 4 x≤1 { ,由题意,得-3 追梦之旅铺路卷·七年级下·HS·数学　 第 16 页