追梦专项总结突破卷(三)一元一次不等式-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（华东师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(三) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂一元一次不等式 题型一　 解一元一次不等式(组) 1. 解下列不等式(组): (1)5x+1≤3(x-1);　 　 　 　 　 (2)3x-2x +3 5 <x +2 4 ; (3) x+1>3x -1 2 ① 2x-(x-3)≥5② ì î í ï ï ï ï ; (4) x-4<3(x-2)① 1+2x 3 +1>x② ì î í ï ï ï ï . 2. 解不等式 6-4x≥3x-8,并写出其正整数解. 3. 解不等式组 3x-1>x+1① 4x-5 3 ≤x② ì î í ï ï ï ï ,并写出它的最大正整数解. 4. 解不等式组: 3x-11<x-5 4(x+1)≤7x+10{ ,把解集在数轴上表示出来,并求 出不等式组的整数解的和. 题型二　 与新定义有关的问题 5. 对有理数 x,y 定义运算:x※y = ax+by,其中 a,b 是常数. 若 2※ ( -1)= -6,2※3>2,则 a,b 的取值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a>-2,b<2 B. a<-1,b<2 C. a<-1,b>2 D. a>-2,b>2 6. 定义一种运算:a#b= b-a(a≥b),现有两个满足该运算条件的式 子:a= 2x-1 和 b = 1-x,则不等式(2x- 1) #(1-x) > - 1 的解集 是(　 　 ) A. 2 3 ≤x<1 B. x<1 C. x>1 D. x≥ 2 3 7. 对 m、n 定义一种新运算“※”,规定:m※n = am-bn+5(a,b 均为 非零常数),等式右边的运算是通常的四则运算,例如 3※4 = 3a -4b+5. 已知 2※3 = 1,3※( -1)= 10. (1)求 a、b 的值; (2)若关于 x 的不等式组 x※(2x-3) <9 3x※( -6) <t{ 有且只有一个整数解, 试求字母 t 的取值范围. 8. 若不等式(组)只有 n 个正整数解(n 为自然数),则称这个不等 式(组)为 n 阶不等式(组) . 我们规定:当 n= 0 时,这个不等式(组)为 0 阶不等式(组) . 例如:不等式 x+ 1 < 6 只有 4 个正整数解,因此称其为 4 阶不 等式. 不等式组 x+1>2 2x-3<7{ 只有 3 个正整数解,因此称其为 3 阶不等 式组. 请根据定义完成下列问题: (1)x< 1 2 是　 　 　 阶不等式组; (2)若关于 x 的不等式组 2x-4a<0 2+3x≥x +9 2 ì î í ï ï ïï 是 4 阶不等式组,求 a 的 取值范围; (3)关于 x 的不等式组 x≥p x<m{ 的正整数解有 a1,a2,a3,a4,…,其 中 a1 <a2 <a3 <a4 <…,如果 x≥p x<m{ 是(m-3)阶不等式组,且关于 x 的方程 2x-m= 0 的解是 x≥p x<m{ 的正整数解 a3,请求出 m 的值以 及 p 的取值范围. 题型三　 求一元一次不等式(组)中参数的取值范围 9. 已知不等式 2(x+3) -5x+a>0 的解集中恰有 3 个非负整数,则 a 的取值范围为(　 　 ) A. 2<a≤3 B. 2≤a<3 C. 0<a≤3 D. 0≤a<3 10. 若关于 x 的不等式组 x-a≥3 5-2x>x-1{ 无解,则 a 的取值范围是(　 　 ) A. a≤-1 B. a<-1 C. a≥-1 D. a>-1 11. 若不等式组 x-4<0 x≥m{ 有解,则 m 的取值范围为(　 　 ) A. m<4 B. m>4 C. m≤4 D. m≥4 ·92· 12. 已知关于 x 的不等式组 3x+6>x-4 m-x<0{ 的解为 x>-5,则 m 的取值 范围是(　 　 ) A. m<-5 B. m≥-5 C. m>-5 D. m≤-5 13. 若关于 x 的不等式组 x+6<2+3x a+2x 4 >x ì î í ï ï ïï 有且只有四个整数解,则实数 a 的取值范围是(　 　 ) A. 12≤a≤14 B. 12<a<14 C. 12<a≤14 D. 12≤a<14 14. 若关于 x,y 的二元一次方程组 x-y= 2m+1 x+3y= 3{ 的解满足 x+y>0,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m>2 B. m>-2 C. m<2 D. m<-2 15. 已知关于 x 的不等式组 x-a≥1 5-2x>-3{ . (1)若该不等式组有且只有 4 个整数解,求 a 的取值范围; (2)若不等式组有解,且它的解集中的任何一个 x 值均不在 x≤2 的范围内,求 a 的取值范围. 题型四　 不等式组与方程(组)的结合问题 16. 若关于 x 的一元一次不等式组 4x+10>k 1-x≥0{ 有且只有四个整数解, 且关于 y 的方程 y-3 = 3k-y 的解为非负整数,则符合条件的所 有整数 k 的和为(　 　 ) A. -3 B. -2 C. 2 D. 0 17. 若 a 使关于 x 的不等式组 4(x+2)≥x+a - 2 3 x+3≥2 ì î í ï ï ïï 有三个整数解,且使 关于 y 的方程 2y+a = 5y +6 2 有正数解,则符合题意的整数 a 的 和为(　 　 ) A. 12 B. 9 C. 5 D. 3 18. 已知关于 x、 y 的方程组 x-2y=m 2x+3y= 2m+4{ 的解满足不等式组 3x+y≤0 x+5y>0 { ,求满足条件的 m 的整数值. 题型五　 一元一次不等式(组)的实际应用 19. 某校学生购买了一批牛奶到敬老院慰问老人,如果每位老人分 4 盒牛奶,那么剩下 28 盒牛奶;如果每位老人分 5 盒牛奶,那 么最后一位老人分得的牛奶不足 4 盒,求:该校学生最多购买 了多少盒牛奶? 20. 某超市销售甲、乙两种商品,甲商品每件进价为 10 元,售价为 15 元;乙商品每件进价为 30 元,售价为 40 元. (1)若该超市一次性购进两种商品共 80 件,且恰好用去 1 600 元,购进甲、乙两种商品各多少件? (2)若该超市要使两种商品共 80 件的购进费用不超过 1 640 元,且总利润(利润=售价-进价)不少于 600 元,请你帮助该超 市设计相应的进货方案,并指出使该超市利润最大的方案. 21. 为全面实施乡村振兴计划,解决革命老区茶叶销售难的问题, 我市某地政府积极利用电商平台销售优质茶叶,让商家云端订 货. 一外市茶叶商家在电商平台上,购进我市 A、B 两种优质茶 叶进行销售,近两个月的进货情况如下表: 进货时段 进货数量(盒) A B 进货总支出(元) 第一个月 5 5 1 500 第二个月 5 6 1 700 (1)求 A、B 两种优质茶叶的进货单价; (2)若 A、B 两种优质茶叶销售单价分别为 180 元 / 盒、300 元 / 盒,根据销售情况,第三个月该商家准备再购进 A、B 两种优质 茶叶共 30 盒,进价总支出不超过 4 500 元,全部售完后,该月 总利润不低于 2 660 元,问该商家有哪几种进货方案. ·03· = 2. 故选 B. 6. B　 【解析】当 x= y 时,得 3a= 0,a= 0,∴ 甲判断错误. 解方程组 x-y= 3a① x+3y= 2-a②{ ,得 x= 2a+ 1 2 y= 1 2 -a ì î í ï ï ï ï . ∴ x+2y = 3 2 . ∴ 乙判断正确. 故选 B. 7. D 8. D　 【解析】设小长方形的长为 x,宽为 y,观察图形可 得 (x+4y)-(3y+x)= 2 x+y= 7{ ,解得 x= 5 y= 2{ ,小长方形的面积 为 5×2 = 10,大长方形的面积为 11×13 = 143,空白部 分面积为 143-9×10 = 53. 故选 D. 9. 40　 【解析】设李师傅加工 1 个甲种零件需要 x 分 钟,加工 1 个乙种零件需要 y 分钟,根据题意,可列方 程组 3x+5y= 55① 4x+9y= 85②{ ,由①+②得 7x+14y= 140,所以 x+ 2y= 20,则 2x+4y= 40,所以李师傅加工 2 个甲种零件 和 4 个乙种零件共需 40 分钟. 10. 17　 【解析】设第一次看到的里程碑上的两位数的十 位数字为 x,个位数字为 y,依题意得 10y+x-(10x+y) 30 = 100x +y-(10y+x) 20 ,∴ y= 7x,又∵ x,y 均为一位数,且 x,y 均为正整数,∴ x= 1y= 7{ ,∴ 10x+y = 17,即第一次看 到的里程碑上的数字为 17. 11. 解:(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需 x 台、y 台, 依题意得 x+y= 8 60x+80y= 540{ ,解得 x= 5 y= 3{ . 答:需甲种型 号挖掘机 5 台,乙种型号挖掘机 3 台. (2)设租用 m 台甲型挖掘机,n 台乙型挖掘机,依题 意得 60m+80n= 540,化简得 3m+4n= 27,∴ m= 9- 4 3 n,易知 m,n 为正整数,方程的解为 m= 5n= 3{ 或 m= 1 n= 6{ , 当 m = 5,n = 3 时,支付租金 100 × 5 + 120 × 3 = 860 (元),860 元>850 元,超出限额;当 m = 1,n = 6 时, 支付租金 100×1+120×6 = 820(元),符合要求. 答: 只有一种租用方案,租用 1 台甲型挖掘机和 6 台乙 型挖掘机. 追梦专项总结突破卷(三) 1. 解:(1)去括号,得 5x+1≤3x-3. 移项,得 5x-3x≤-3 -1. 合并同类项,得 2x≤-4. 两边同除以 2,得 x≤-2. (2)去分母,得 60x- 4(2x+ 3) < 5( x+ 2),去括号,得 60x-8x-12<5x+10,即 52x-12<5x+10,移项,得 52x- 5x<10+12,即 47x<22. 两边都除以 47,得 x< 22 47 . (3)解不等式①得 x<3,解不等式②得 x≥2,则不等 式组的解集为 2≤x<3. (4)解不等式①得 x>1,解不等式②得 x<4,则不等式 组的解集为 1<x<4. 2. 解:移项,得- 4x- 3x≥ - 6 - 8. 合并同类项,得- 7x≥ -14. 两边同除以-7,得 x≤2. ∴ 正整数解为 1,2. 3. 解:由①得:x>1,由②得:x≤5,则不等式组的解集为 1<x≤5,则不等式组的最大正整数解为 5. 4. 解: 3x-11<x-5①4(x+1)≤7x+10②{ ,解不等式①得 x< 3. 解不等 式②得 x≥-2,把①、②的解集在数轴上表示. 如图所 示: ∴ 不等式组的解集为:-2≤x<3. 不等式组的整数解 为-2,-1,0,1,2,-2+( -1) +0+1+2 = 0. 5. D 6. A　 【解析】根据题意得, 2x-1≥1-x1-x-(2x-1)>-1{ ,解不等 式组得 2 3 ≤x<1. 故选 A. 7. 解:(1)∵ 2※3 = 1,3※( -1)= 10,∴ 2a-3b+5 = 13a+b+5 = 10{ ,解 得 a= 1 b= 2{ ; (2)∵ 不等式组 x※(2x-3)<93x※(-6)<t{ ,且 a= 1,b= 2,∴ ax-b(2x -3)+5=-3x+11<9,3ax+6b+5=3x+17<t,解得 x> 2 3 x< t-17 3 ì î í ï ï ï ï ,∵ 关于 x 的不等式组有且只有一个整数解,∴ 1< t-17 3 ≤2, 解得 20<t≤23,∴ t 的取值范围是 20<t≤23. 8. 解:(1)0 (2)解不等式组得 1≤x<2a,由题意得 x 有 4 个正整 数解,为 1,2,3,4,∴ 4<2a≤5,解得 2<a≤2. 5; (3)由题意得,m 是正整数,且 p≤x<m 有(m-3)个正 整数解,∴ 2<p≤3, m 2 = 5,∴ m= 10. 9. C　 【解析】解不等式,得 x< 1 3 a+2,∵ 不等式 2(x+3)- 5x+a>0 的解集中恰有 3 个非负整数,∴ 3 个非负整数 解是 0,1,2,∴ 2< 1 3 a+2≤3,解得 0<a≤3. 故选 C. 10. C 11. A　 【解析】解不等式 x-4<0 得 x<4,又∵ x≥m,且 不等式组有解,∴ m<4. 故选 A. 12. D　 【解析】 3x+6>x-4①m-x<0②{ ,由①得 x>-5,由②得 x> m,∵ 关于 x 的不等式组的解为 x>-5,∴ m≤-5. 故 选 D. 13. C　 【解析】 x+6<2+3x① a+2x 4 >x②{ ,解不等式①得 x>2,解不 等式②得 x< a 2 ,∴ 原不等式组的解集为 2<x< a 2 ,∵ 不等式组有且只有四个整数解,∴ 6< a 2 ≤7,∴ 12<a ≤14. 故选 C. 14. B　 【解析】两方程相加,得 2x+2y= 2m+4,∴ x+y =m +2,∵ x+y>0,∴ m+2>0,解得 m>-2. 故选 B. 15. 解:(1)解不等式组得 x≥a+1x<4{ ,∵ 不等式组有且只 有 4 个整数解,∴ a+1≤x<4,整数解为 0,1,2,3,∴ -1<a+1≤0,解得-2<a≤-1; (2)∵ 不等式组有解,解集中的任何一个 x 值均不在 x≤2 的范围内,∴ 2<a+1<4,解得 1<a<3. 16. D　 【解析】解不等式组,得 x> k-10 4 x≤1 { ,由题意,得-3 追梦之旅铺路卷·七年级下·HS·数学　 第 16 页 ≤ k-10 4 <-2,解得-2≤k<2,即整数 k = -2,-1,0,1, 解方程得 y= 3k+3 2 ,∵ 关于 y 的方程 y-3 = 3k-y 的解 为非负整数,∴ 3k+3 2 ≥0,∴ k 为-1,1,符合条件的所 有整数 k 的和为 0. 故选 D. 17. B　 【解析】解不等式组得 x≥ a-8 3 x≤ 3 2 ì î í ï ï ï ï ,∵ 不等式组有三 个整数解,∴ a-8 3 ≤x≤ 3 2 ,整数解为-1,0,1,∴ -2< a-8 3 ≤-1,解得 2<a≤5,∴ 整数解 a = 3,4,5,解方程, 得 y= 2a-6,∵ 方程有正数解,∴ 2a-6>0,解得 a>3,综 上所述,a= 4,5,和为 4+5= 9. 故选 B. 18. 解: x -2y=m　 ① 2x+3y= 2m+4　 ②{ ,①+②得 3x+y = 3m+4,②- ①得 x + 5y = m + 4, 代入不等式组 3x +y≤0 x+5y>0{ , 得 3m+4≤0 m+4>0{ ,解不等式组,得- 4 <m≤ - 4 3 ,则 m = - 3 或 m= -2. 19. 解:设这个敬老院的老人有 x 位, 根据题意, 得 4x+28<5(x-1) +4 4x+28>5(x-1){ ,解得 29<x<33,因为 x 是整数, 所以 x 可取值 30,31,32,所以 x 最多为 32,则 4x+28 = 156(盒),即该校学生最多购买了 156 盒牛奶. 20. 解:(1) 设该超市购进甲商品 x 件,则购进乙商品 (80-x)件,根据题意,得 10x+30(80-x)= 1600,解得 x= 40,80-x= 40. 故该超市购进甲、乙两种商品各 40 件. (2)设该超市购进甲商品 y 件,则购进乙商品(80-y) 件,根据题意,得 10y +30(80-y)≤1640 (15-10)y+(40-30)(80-y)≥600{ , 解得 38≤y≤40,∵ y 为正整数,∴ y 取 38,39,40,相应 的 80-y 可取 42,41,40,而利润分别为 5×38+10×42 = 190+420 = 610 (元),5 × 39 + 10 × 41 = 195 + 410 = 605 (元),5×40+10×40 = 200+400 = 600(元),则该超市的 进货方案有三种:①购进甲商品 38 件,购进乙商品 42 件;②购进甲商品 39 件;购进乙商品 41 件;③购进甲 商品 40 件,购进乙商品 40 件. 其中该超市利润最大 的方案是购进甲商品 38 件,购进乙商品 42 件. 21. 解:(1)设 A 种优质茶叶的进货单价是每盒 x 元,B 种优质茶叶的进货单价是每盒 y 元. 由表格可得 5x+5y= 1500 5x+6y= 1700{ ,解得 x= 100 y= 200{ ,即 A 种优 质茶叶的进货单价是每盒 100 元,B 种优质茶叶的 进货单价是每盒 200 元; (2)设购进 A 种优质茶叶 m 盒,则购进 B 种优质茶 叶 ( 30 - m ) 盒. 由 题 意, 得 100m+200(30-m)≤4500 (180-100)m+(300-200)(30-m)≥2660{ ,解得 15 ≤m≤17,∵ m 为整数,∴ m 可取 15,16,17,∴ 商家 进货方案有 3 种:①购进 A 种优质茶叶 15 盒,购进 B 种优质茶叶 15 盒;②购进 A 种优质茶叶 16 盒,购 进 B 种优质茶叶 14 盒;③购进 A 种优质茶叶 17 盒, 购进 B 种优质茶叶 13 盒. 追梦专项总结突破卷(四) 1. 证明:连结 AD. 则 S△ ABC = S△ ABD+S△ ACD, 1 2 AB·DE+ 1 2 AC·DF= 1 2 AC·BG. ∵ AB=AC,∴ DE+DF=BG. 2. 解:∵ DB 为△ABC 的中线,∴ AD = CD. 设 AD = CD = x,则 AB= 2x. 当 x+2x= 12,解得 x= 4,BC+x= 15,解得 BC= 11,此时△ABC 的三边长为:AB = AC = 8,BC = 11;当 x+2x = 15,BC+x = 12,解得 x = 5,BC = 7,此时 △ABC 的三边长为:AB = AC = 10,BC = 7. 故△ABC 的 三边长为 8、8、11 或 10、10、7. 3. 解:(1) ∵ ∠BAC = 90°,AM 是边 BC 上的高,∴ 1 2 AB ·AC= 1 2 BC·AM,∴ AM = 5×12 13 = 60 13 ( cm),即 AM 的 长度为 60 13 cm; (2)由题意,得 S△ ABC = 1 2 AB·AC = 30( cm2 ). 又∵ AN 是△ABC 的中线,S△ ABN = S△ ANC,∴ S△ ABN = 1 2 S△ ABC = 15(cm2),∴ △ABN 的面积是 15cm2; (3)∵ AN 为 BC 边上的中线,∴ BN = NC,∴ AC+AN+ CN-(AB + BN + AN) = AC - AB = 12 - 5 = 7 ( cm),即 △ACN 和△ABN 的周长的差是 7cm. 4. 解:(1) AB∥CD. 理由如下:∵ CE 平分∠ACD,AE 平 分∠BAC, ∴ ∠BAC = 2 ∠EAC, ∠ACD = 2 ∠ACE, ∵ ∠EAC+∠ACE= 90°,∴ ∠BAC+∠ACD = 180°,∴ AB∥ CD; (2)存在,∠BAE+ 1 2 ∠MCD = 90°. 理由如下:过点 E 向右作 EF∥AB. ∵ AB∥CD,∴ EF∥AB∥CD,∴ ∠BAE = ∠AEF,∠FEC = ∠DCE,∵ ∠AEC = 90°,∴ ∠BAE+ ∠ECD= 90°,∵ ∠MCE = ∠ECD,∴ ∠BAE+ 1 2 ∠MCD = 90°; (3) ①∠BAC = ∠PQC+∠QPC 　 ②∠PQC+∠QPC+ ∠BAC= 180° 5. C 　 【解析】 ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠A + ∠B = 90°. ∵ △CDB′是由△CDB 翻折得到的,∴ ∠CB′D = ∠B. ∵ ∠CB′D= ∠A+∠ADB′ = ∠A+20°,∴ ∠B = ∠A+20°, ∴ ∠A+∠A+20° = 90°,解得∠A= 35°. 故选 C. 6. 解:(1)29° (2)∵ ∠BEC′ = 42°,∠ADC′ = 20°,∴ ∠CEC′ = 180°- ∠BEC′= 138°,∠CDC′= 180°-∠ADC′= 160°,由折叠 得 ∠CDE = ∠C′ DE = 1 2 ∠CDC′ = 80°, ∠DEC = ∠DEC′ = 1 2 ∠CEC′ = 69°, ∴ ∠C = 180° - ∠EDC - ∠DEC= 31°; (3)∵ ∠BEC′ = x,∠ADC′ = y,∴ ∠CEC′ = 180°-x,由 折叠得∠CDE = ∠C′DE = 1 2 (180° +∠ADC′) = 90° + 1 2 y,∠DEC= ∠DEC′= 1 2 ∠CEC′= 90°- 1 2 x,∴ ∠C = 180°-∠EDC-∠DEC= 180°-(90°+ 1 2 y) -(90°- 1 2 x) 追梦之旅铺路卷·七年级下·HS·数学　 第 17 页