27.2.1.3相似三角形的判定定理3课件－2023—2024学年人教版数学九年级下册

相等 成比例 (－1，0)，(1，0)或(－4，0) C C △ACE △CDF 2.5 10 是 C 第3课时　相似三角形的判定定理3 1．两角分别相等的两个三角形相似； 2．斜边与一直角边成比例的两个直角三角形相似． 如图，等边△ABC中，AB＝3，点P为BC边上的一点，且∠APD＝60°，BP＝1，求CD的长． 【思路分析】由∠APD＝∠B＝60°，易得∠CPD＝∠BAP，从而△ABP∽△PCD，进而求出CD的长． 【自主解答】 ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝1，∠B＝60°. ∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APD＋∠DPC. ∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD， ∴eq \f(BP,AD)＝eq \f(CD,PC)，∵BP＝1，∴CP＝2， 即eq \f(1,3)＝eq \f(CD,2)，∴CD＝eq \f(2,3). 【名师支招】在有角度相等的背景条件下可以考虑找两角相等证明两个三角形相似． 【易错原因】考虑问题不全面导致漏解 如图，在平面直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(点C与点A不重合)，当点C的坐标为________时，△ABO与△BCO相似． 【自主解答】 知识点1：两角分别相等的两个三角形相似 1．下列一定相似的一组三角形为 （ ） A．两个等腰三角形 　　　 B．两个直角三角形 C．两个等边三角形 　　　 D．有一个角相等的两个直角三角形 2．在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是 （ ） A.eq \f(DE,BC)＝eq \f(AD,DB) B.eq \f(AE,BC)＝eq \f(AD,BD) C.eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AB) D.eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC) 3．如图，已知∠B＝∠C，则△ABF∽△ACE，△BDE∽△ CDF. 4．如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC＝4，AB＝3，DC＝2，则EC＝2. 5. 5．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长． 解：在△ABC和△ACD中， ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,AC)， ∴AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD) ＝2×6＝12，∴AC＝2eq \r(3). 知识点2：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 6．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′. 7．已知一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm和 eq \f(45,4) cm，则这两个直角三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形． 8．已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)，求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：∵CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高， ∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°， ∵eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′， ∵∠C＝∠C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′. 9．如图，在△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是 （ ） A．△ABD B．△CDF C．△BCD D．△ACE 10．(金溪县模拟)已知AB＝1，BC＝6，CD＝4，P在线段BC上，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C；当△ABP与P，C，D三点组成的三角形相似 时，BP＝ ， 3＋ 或3－ . 【解析】存在两种情况，一种是△ABP∽△DCP，一种是△ABP∽△PCD，然后分别计算出BP的值即可． eq \f(6,5)，3＋eq \r(5)或3－eq \r(5) 11．如图，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，DE∥AC交BC的延长线于点E. 求证：AB·DE＝BD·DC. 证明：∵⊙O内接四边形ABCD， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， 又∵∠BCD＋∠DCE＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE， 又∵DE∥AC，∴