2024年中考数学专项复习讲义：二次根式

2024年中考数学专项复习讲义：二次根式 知识点归纳 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 提升练习 一、单选题 1．下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．式子有意义，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≠5 C．a≥2且a≠5 D．a>2且a≠5 3．下列二次根式中，与 之积为有理数的是（　　） A． B． C． D．﹣ 4．对于二次根式，以下说法不正确的是 （　　） A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是3 5．若0＜x＜1，则 － 等于（　　） A． B．－ C．－2x D．2x 6．若代数式中，的取值范围是，则为（　　） A． B．m≠4 C． D． 7．已知x，y为实数， 且 则的值为 （　　） A． B． C． D．2 8．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 二、填空题 9．化简： ﹣ =　 　． 10．若 ,则 　 　. 11．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 　 　． 12．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是　 　． 13．已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为　 　. 三、解答题 14．计算： （1） ； （2） . 15．小明在学习 后，认为 也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的，你认为他的化简过程对吗？说说理由. 16．已知，.求： （1） 和的值； （2）求的值. 17．阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： . 以上这种化简的步骤叫作分母有理化. （1）化简； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值. 18．某居民小区有一块形状为长方形的绿地ABCD，长方形绿地的长BC为 m，宽AB为 m，现要在长方形绿地中修建一个长方形 花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为( +1)m，宽为( -1)m． （1）长方形ABCD的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？(结果化为最简二次根式) 答案 1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．﹣ 10．1 11．1-2a 12．2 13．2 14．（1）解： ； （2）解： . 15．解：错误，原因是被开方数必须是非负数。 16．（1）解：∵， ， ∴， ； （2）解：. 17．（1）解：（1） ； （2）∵， 又∵， ∴， ∴的整数部分为a＝3，小数部分为