山东省菏泽第一中学南京路校区2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

菏泽一中南京路校区2024届高三下学期开学考试 数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合，，则 A. B. C. D. 3.已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球与上、下底面及侧面都相切的球，则该圆台的体积为 A. B. C. D. 4.记为等差数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 5.命题“，”的否定为 A. ， B. ， C. ， D. ， 6.在中，为边上一点，，，，且的面积为，则 A. B. C. D. 7.已知等差数列的前项和为，若，且，，则(    ) A. B. C. D. 8.已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是 (    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是 A. 若随机变量，则 B. 若经验回归方程中的，则变量与正相关 C. 若随机变量，且，则 D. 若事件与为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 10.已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是 (    ) A. 为奇函数 B. C. D. 为偶函数 11.函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，若，则的取值范围是          ． 13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为          ． 14.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在如图所示的中，有． 求的大小； 直线绕点顺时针旋转与的延长线交于点，若为锐角三角形，，求长度的取值范围 16.本小题分 如图，三棱柱中，四边形，均为正方形，，分别是棱，的中点，为上一点． 证明：平面 若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知椭圆：的右顶点为，左焦点为，椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点记坐标原点为，圆过、两点且与直线相交于两个不同的点，在第一象限，且在的上方，，直线与椭圆相交于另一个点． 求椭圆的方程； 求的面积． 18.本小题分 已知函数的导数为． 若恒成立，求实数的取值范围； 函数的图象上是否存在三个不同的点，，其中且，，成等比数列，使直线的斜率等于？请说明理由． 19.本小题分 “数”在量子代数研究中发挥了重要作用设是非零实数，对任意，定义“数” ． 利用“数”可定义“阶乘” 且， 和“组合数”，即对任意，，， ． 计算： 证明：对于任意，，， 证明：对于任意，，，， 菏泽一中南京路校区2024届高三下学期开学考试数学试题 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数的运算和几何意义，属于基础题． 化简复数，由复数的几何意义即可判断． 【解答】 解：由题意，， 则，对应点为，在第三象限 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查交集运算，属于基础题． 化简，，由交集运算即可求解． 【解答】 解：，， 则 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆台的体积求解，属于中档题． 根据题意，设该圆台的轴截面为梯形，则、分别上下底的中点，设该圆台的高为，即梯形的高为，由 梯形的性质分析，求出的值，即可得圆台的高，进而由圆台的体积公式计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，设该圆台的轴截面为梯形，则、分别上下底的中点， 设该圆台的高为，即梯形的高为， 若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，梯形的上底下底分别为 设圆台的内切球球心为，则为的中点， 连接、、、，、，过点作，与相交于点， 则梯形的面积， 同时，， 解可得：，则圆台的高为， 故该圆台的体积． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题． 求出首项和公差，由等差数列的求和公式即可求解． 【解答】 解：设公差为， 则 则． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查命题的否定，属于基础题． 利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可解答． 【解答】 解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题“，”的否定为， 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理，考查两角和