专题07 两个函数图象的交点（公共点）问题-2024年中考数学复习核心&重点专题+中考真题分类单元测试卷（全国通用）

专题07 两个函数图象的交点（公共点）问题（原卷版） 一、解题思路 求两个函数图象公共点坐标的一般法（列方程组法） ①确定两函数的解析式及自变量取值范围 ②根据两函数图象均经过公共点，联立两个函数解析式得方程组 ③解方程组，即可求得公共点的坐标 知识拓展： 方程组解的个数就是公共点的个数 易错警示： 若求得的点的横坐标不满足同时在两个函数自变量的取值范围，应将其舍去 二、典例剖析 【典例1】（基础型） （2023•德阳）如图，点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，△OAC的面积是8． （1）求反比例函数的解析式； （2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线y＝2x+b与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标． 【典例2】进阶型 （2022•永州）已知关于x的函数y＝ax2+bx+c． （1）若a＝1，函数的图象经过点（1，﹣4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值； （2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围． （3）阅读下面材料： 设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0； ②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0； ③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需0． 综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数y＝ax2﹣2x+3的图象在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围． 【典例3】压轴型 3．（2022•宜昌）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E（0，n）．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（m+1，m+3），N（m+1，m），P（m+5，m），Q（m+5，m+3）． （1）填空：a＝　 ，b＝　 ； （2）若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y有且只有一个交点，求n2的最大值； （3）当直线l与四边形MNPQ、抛物线y＝ax2+bx﹣2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y＝ax2+bx﹣2的交点的纵坐标． ①当m＝﹣3时，直接写出n的取值范围； ②求m的取值范围． 三、专题提升训练 1．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当y1＞y2时，求x的取值范围． 2．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y在第一象限的图象于点C（a，1）． （1）求反比例函数y和直线OC的表达式； （2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 3．（2023•郸城县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4 与x轴、y轴分别交于A，B两点．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线交于点C．反比例函数y（k≠0）的图象经过BC的中点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线l1向上平移m个单位长度得到直线l2（m＞0），若直线l2与反比例函数 y（k≠0）的图象只有一个交点，求m的值． 4．（2023•西宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1． （1）求直线l的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标． 5．（2023•济南）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如