第18讲 等腰三角形（讲义）-备战2024年浙江中考数学一轮复习

备战2024年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第18讲 等腰三角形 ( 课标要求 ) 1．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 2．理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合 3．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 4．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60° 5．探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形 ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1等腰三角形的性质与判定 ☆☆ 该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 考点2等边三角形的性质与判定 ☆☆ 考点3线段垂直平分线的性质与判定定理 ☆☆ 考点4 等腰三角形综合 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1. 等腰三角形： （1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）判定 ①有两条边 的三角形是等腰三角形； ②有两个角 的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”； （3）性质 ①等腰三角形的 相等， 相等； ②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相 ； ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是 . （4）性质推广 ①等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； ③等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高 2.等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形. （2）对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 （3）判定 ①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都是 的三角形是等边三角形； ③有一个角都是 的等腰三角形是等边三角形； 3.线段的中垂线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上. ( 深度讲练 ) ■考点一　等腰三角形的性质与判定► ◇典例1：（2022•南岗区一模）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证：AD＝BC； （2）如图2，过点D作DE∥BC交AC于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（△ABC除外）． 【变式训练】 1．（2022•滨江区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，DA⊥AB．设∠CAD＝38°，则∠ADB＝（　　） A．60° B．62° C．64° D．66° 2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）求证：∠EBD＝∠EDB． （2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． ■考点二 等边三角形的性质与判定► ◇典例2：（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 【变式训练】 1．（2022•海曙区一模）如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线交于三角形外一点P，若△ABP为等边三角形，则∠ACB的度数为 　 　． 2．（2023•张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）求证：DC＝CF． ■考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理► ◇典例3：（2023•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 ◆变式训练 1．（2022•宜昌）如图，在△ABC