2024届高考数学二轮专题复习-专题七第2讲不等式选讲导学案（统考版）

第2讲　不等式选讲 考点一　不等式的证明——看“目标”，找“条件”，想“联系”，用“转化” 算术—几何平均不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 例 1[2022·全国乙卷]已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)abc≤； (2)＋＋≤. 归纳总结 证明不等式的常用方法 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法． (2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的． (3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾． 对点训练 [2022·全国甲卷]已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则＋≥3. 考点二　含绝对值不等式的解法——掀起“绝对值”的盖头 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间； (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集． 例 2[2023·全国乙卷]已知f(x)＝2|x|＋|x－2|． (1)求不等式f(x)≤6－x的解集； (2)在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积． 归纳总结 绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a或x>a； (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号； (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解； (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解； (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． 对点训练 [2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|. (1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象； (2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围． 考点三　与绝对值不等式有关的恒成立问题——弄清绝对值的几何意义 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 例 3 [2023·河南省开封市杞县高三三模]已知函数f(x)＝|2sin x－k|＋k(k∈R). (1)当k＝1时，求不等式f(x)≤2的解集； (2)h(x)＝f(x)＋|2sin x－1|，当x∈R时，h(x)≥3恒成立，求k的取值范围． [听课记录] 归纳总结 解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略 不等式恒成立问题 不等式f(x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)min>A. 不等式f(x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)max<B. 不等式能成立问题 在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，等价于在区间D上f(x)max>A. 在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，等价于在区间D上f(x)min<B. 不等式恰成立问题 不等式f(x)>A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)>A的解集为D. 不等式f(x)<B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)<B的解集为D. 对点训练 [2023·陕西省商洛市镇安中学高三模拟]已知函数f(x)＝|x|＋|x－2|＋1. (1)解不等式f(x)≤7； (2)若不等式mx＋2≤f(x)(m>0)对于x∈R恒成立，求m的取值范围． 第2