2024届高考数学二轮专题复习-专题六函数与导数第4讲导数的综合应用导学案（统考版）

第4讲　导数的综合应用 考点一　利用导数研究函数的零点——“形”定个数，“离”参转化 三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可．存在两个极值点x1，x2且x1<x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： a的符号 零点个数 充要条件 a>0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值) 一个 f(x1)<0或f(x2)>0 两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0 三个 f(x1)>0且f(x2)<0 a<0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值) 一个 f(x1)>0或f(x2)<0 两个 f(x1)＝0或f(x2)＝0 三个 f(x1)<0且f(x2)>0 例 1[2022·全国乙卷(文)]已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围． [听课记录] 归纳总结 利用导数研究函数零点问题的思路 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解． (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 对点训练 [2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ex－a(x＋2). (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 考点二　利用导数证明不等式——构造·分离·放缩 常见的指数、对数不等式 (1)ex≥x＋1及其变形ex－1≥x，ex≥ex等． (2)ln x≤x－1(x>0)及其变式ln (x＋1)≤x，ln x≥1－等． 例 2[2023·湖北二模]已知函数f(x)＝xex－1，g(x)＝a(ln x＋x). (1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求正实数a的值； (2)证明：x2ex>(x＋2)ln x＋2sin x． [听课记录] 归纳总结 用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，则f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论． (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m). (3)证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0. 对点训练 [2021·全国乙卷]设函数f(x)＝ln (a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1. 考点三　利用导数解决不等式恒(能)成立问题——转化·分离·构造 不等式“恒成立”或“能成立”问题的常用结论 (1)单变量“恒成立”与“能成立”问题的转化策略 ①对任意的x∈[m，n]，a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；对任意的x∈[m，n]，a<f(x)恒成立⇔________________． ②对任意的x∈[m，n]，不等式f(x)>g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min>0；对任意的x∈[m，n]，不等式f(x)<g(x)恒成立⇔____________． ③若存在x∈[m，n]，a>f(x)有解(能成立)⇔________________；若存在x∈[m，n]，a<f(x)有解(能成立)⇔________________； 若存在x∈[m，n]，a>f(x)无解(不成立)⇔________________． ④若存在x0∈[m，n]，使不等式f(x0)>g(x0)成立⇔f(x)－g(x)>0在[m，n]上有解⇔________________． (2)双变量“恒成立”与“能成立”问题的转化策略 ①若∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)＝g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集不为空集，即A∩B≠∅.其等价转化的基本思想是：两个函数有相等的函数值，即它们的________有公共部分． ②对∀x1∈D1，∀x2∈D2，都有f(x1)<g(x2)恒成立，等价于f(x)max<g(x)min或等价于f(x)<g(x)min恒成立，或等价于f(x)max<g(x)恒成立．其等价转化思想是：函数f(x)的任何一个函数值均________函数g(x)的任何一个函数值． ③对∀x1