第2讲不等式推理与证明专项练习-2024届高三数学二轮专题复习

第2讲　不等式、推理与证明 考点一　不等式的解法——明条件，巧转化，数形结合 导向性 考查数学运算的学科素养． 原则性 考查基础知识，与集合等知识相结合． 1.[2023·福建三模]若a>0，b>0，则“a＋b<2”的一个必要不充分条件是(　　) A.＋<1 B．ab<1 C.a2＋b2<2 D．< 2．[2023·河北省石家庄市第二中学高三月考]已知集合A＝{x|sin x＝0，x∈R}，集合B＝{x≤0，x∈R}，则A∩B＝(　　) A.{0，π，2π} B．{π，2π} C.{，，7} D．{，} 3．不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是(　　) A.1<a<5 B．－5<a<－1 C.－5<a≤－1 D．－3<a≤－1 4．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4，1)，则不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集为(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D.∪ 5．[2023·广东省部分地市高三模拟]若集合A＝{x≤0}，B＝{x|2x2－(2a＋1)x＋a≤0}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为(　　) A.[－3，－1] B．[－3，－1) C.(－∞，－1) D．(－∞，－1] 练后领悟 1．明确解不等式的策略 (1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(＜0)(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集． (2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 警示　解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论． 考点二　基本不等式——巧变形，会配凑 导向性 综合性强，考查转化思想． 原则性 核心考点，多在知识交汇处命题．注意构造法的应用． 1.[2023·济南市历城第二中学模拟]已知0<x<，则＋的最小值是(　　) A.5　　　B．6　　　C．7　　　D．8 2．[2023·湖南省益阳市高三月考]已知正数x，y满足2xy＝x＋2y，则4＋2的最小值为(　　) A.2 B．4 C．2 D．4 3．[2023·河南许昌模拟]若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　) A. B． C．2 D．4 4．[2023·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A.4 B．6 C．8 D．9 5．[2023·甘肃张掖高三期末]在等差数列{an}中an>0，且a1＋a2＋…＋a2 019＝4 038，则a1·a2 019的最大值等于(　　) A.4 B．6 C．8 D．9 6．[2023·江苏省镇江中学高三检测]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A.a2b＋ab2的最小值为 B.＋的最大值为1 C.的最小值为7＋4 D.＋的最小值为3 练后领悟 基本不等式求最值的3种解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值． (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒为正或恒为负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 警示　运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到． 考点三　线性规划——以线为界画区域，用点坐标求最值 导向性 考查数形结合思想． 原则性 考查单一，但属高频考点． 1.[2023·四川省成都市石室中学检测]若x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为________． 2．[2023·四川省成都市四七九名校高三模拟]已知实数x，y满足，则的最大值是________． 3．[2023·河南省开封市高三联考]已知实数x，y满足，则(2－x)y＋(2－y)x－x2－y2的最小值为________． 4．[2023·广西南宁市第三中学高三一模]设实数x、y满