第7章 随机变量及其分布 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

章末知识梳理 知识结构􀅰理脉络 随 机 变 量 及 其 分 布 条 件 概 率 加法公式 乘法公式 全概率公式ꎬ贝叶斯公式 离 散 型 随 机 变 量 概率分布 定义 分布列的性质 特殊概率分布 随机变量 离散型随机变量的分布列 二项分布 及其应用 ｎ 重伯努利试 验与二项分布 超几何分布 随机变量的 数字特征 均值(数学期望) 定义 性质 常见分布均值 方差 定义 两特殊分布方差 性质 连续型随机变量 正态分布 正态曲线 特点及应用 ３σ 原则 要点梳理􀅰晰精华 知识点 １ 条件概率与事件的独立性 　 　 １. 条件概率:Ｐ(Ｂ ｜Ａ) ＝Ｐ(ＡＢ)Ｐ(Ａ) (Ｐ(Ａ) >０). ２. 乘法公式与全概率公式、贝叶斯公式: Ｐ(ＡＢ) ＝ Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ ｜Ａ)ꎻ Ｐ(Ｂ) ＝􀰑 ｎ ｉ ＝１ Ｐ(ＢＡｉ) ＝􀰑 ｎ ｉ ＝１ Ｐ(Ａｉ)Ｐ(Ｂ ｜Ａｉ)ꎬｉ ＝１ꎬ ２ꎬ􀆺ꎬｎꎻ Ｐ(Ａｉ ｜Ｂ) ＝ Ｐ(Ａｉ)Ｐ(Ｂ ｜Ａｉ) Ｐ(Ｂ) ＝ Ｐ(Ａｉ)Ｐ(Ｂ ｜Ａｉ) 􀰑 ｋ ｉ ＝ １ Ｐ(Ａｋ)Ｐ(Ｂ ｜Ａｋ) ꎬｉ ＝ １ꎬ２ꎬ􀆺ꎬｎ. ３.独立性与条件概率的关系:当 Ｐ(Ｂ) >０ 且 Ｐ(ＡＢ) ＝ Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ) 时ꎬ有 Ｐ (Ａ ｜ Ｂ) ＝ Ｐ(ＡＢ)Ｐ(Ｂ) ＝ Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ) Ｐ(Ｂ) ＝Ｐ(Ａ). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 061 知识点 ２ 随机变量 　 　 １. 离散型随机变 量及其分布列 离散型随机变量的概念 分布列的概念和性质 两点分布 ì î í ï ï ï ï ２. 二项分 布与超几 何分布 ｎ重伯努利试验 二项分布:Ｘ ~Ｂ(ｎꎬｐ). Ｐ(Ｘ ＝ ｋ) ＝Ｃｋｎｐｋ(１ －ｐ)ｎ －ｋꎬｋ ＝０ꎬ１ꎬ􀆺ꎬｎ 超几何分布:Ｘ ~Ｈ(ＮꎬｎꎬＭ). Ｐ(Ｘ ＝ｋ) ＝ ＣｋＭＣｎ －ｋＮ －Ｍ ＣｎＮ ꎬｋ ＝ ｔꎬｔ ＋１ꎬ􀆺ꎬｓꎬｔ ≤Ｘ≤ｓꎬｓ 为 ｎ与Ｍ中的较小者 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 　 ３. 离散型 随机变量 的数字特 征 均值 Ｅ(Ｘ) ＝ ｘ１ｐ１ ＋ ｘ２ｐ２ ＋ 􀆺 ＋ ｘｎｐｎ ＝􀰑 ｎ ｉ ＝ １ ｘｉｐｉ 两点分布:Ｅ (Ｘ) ＝ ｐꎻ二项分 布:Ｅ(Ｘ) ＝ ｎｐ 超几何分布:Ｅ(Ｘ) ＝ ｎＭＮ Ｅ(ａＸ ＋ ｂ) ＝ ａＥ(Ｘ) ＋ ｂ(ａ≠０) ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 方差 Ｄ(Ｘ) ＝ [ ｘ１ － Ｅ(Ｘ)] ２ｐ１ ＋ [ ｘ２ － Ｅ(Ｘ)] ２ｐ２ ＋􀆺 ＋ [ｘｎ － Ｅ(Ｘ)] ２ｐｎ ＝􀰑 ｎ ｉ ＝ １ [ｘｉ － Ｅ(Ｘ)] ２ｐｉ 两点分布:Ｄ(Ｘ) ＝ ｐ(１ － ｐ) 二项分布:Ｄ(Ｘ) ＝ ｎｐ(１ － ｐ) Ｄ(ａＸ ＋ ｂ) ＝ ａ２Ｄ(Ｘ)(ａ≠０) ì î í ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï 　 　 ４. 正态分布 正态曲线的特点 正态分布的“３σ 原则”{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 素养突破􀅰提技能 要点一 条件概率 　 　 条件概率是概率的重要内容之一ꎬ是后续 学习的基础. 在高考中经常涉及ꎬ一般以选择和 填空的形式考查ꎬ试题难度不大ꎬ属基础题. 求 条件概率的常用方法为:(１)定义法ꎬ分别求出 Ｐ(Ａ)和 Ｐ(ＡＢ)ꎬ得 Ｐ(Ｂ ｜Ａ) ＝ Ｐ(ＡＢ)Ｐ(Ａ) . (２)借助古典概型公式ꎬ先求事件 Ａ 包含的 基本事件数 ｎ(Ａ)ꎬ再在事件 Ａ 发生的条件下求 事件 Ｂ 包含的基本事件数 ｎ(ＡＢ)ꎬ得 Ｐ(Ｂ ｜ Ａ) ＝ ｎ(ＡＢ)ｎ(Ａ) . 　 　 典例 １ 在 １００ 件产品中ꎬ有 ９５ 件合格 品ꎬ５ 件不合格品ꎬ现从中不放回地取两次ꎬ每次 任取 １ 件产品. 试求: (１)第一次取到不合格品的概率ꎻ (２)在第一次取到不合格品后ꎬ第二次再次 取到不合格品的概率. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋