7.3.2 离散型随机变量的方差(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学选择性必修第三册同步学习指导(人教A版2019)

３. (２０２３􀅰安徽六安高二检测)一个均匀小正方 体的六个面中ꎬ三个面上标有数字 ０ꎬ两个面 上标有数字 １ꎬ一个面上标有数字 ２ꎬ将这个 小正方体抛掷 ２ 次ꎬ则向上的数字之积的均 值是 　 　 　 　 . ４. 口袋中有５ 个形状和大小完全相同的小球ꎬ编号 分别为０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ从中任取 ３ 个球ꎬ以 ξ 表示取 出球的最大号码ꎬ则 Ｅ(ξ) ＝ 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[１１] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７. ３. ２　 离散型随机变量的方差 素养目标􀅰定方向 学习目标 １. 通过具体实例ꎬ理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. ２. 能计算简单离散型随机变量的方差ꎬ并能解决一些实际问题. ３. 掌握方差的性质以及方差的求法ꎬ会利用公式求方差. 核心素养 １. 通过离散型随机变量的方差的学习ꎬ培养数学抽象素养. ２. 借助方差解决实际问题ꎬ提升数学运算素养. 必备知识􀅰探新知 知识点 离散型随机变量的方差、标准差 　 　 (１)定义:如果离散型随机变量 Ｘ 的分布列 如表所示: Ｘ ｘ１ ｘ２ 􀆺 ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ 􀆺 ｐｎ 　 　 因为 Ｘ 的均值为 Ｅ ( Ｘ)ꎬ所以 Ｄ ( Ｘ) ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 　 ꎬ称为 随机变量 Ｘ 的方差ꎬ有时也记作:Ｖａｒ(Ｘ)ꎬ并称 Ｄ(Ｘ)为随机变量 Ｘ 的标准差. 记作:σ(Ｘ) . (２)意义:随机变量的方差和标准差都反映 了随机变量取值的离散程度ꎬ方差和标准差越 小ꎬ随机变量的取值越 集中　 ꎻ方差与标准差越 大ꎬ随机变量的取值越 分散　 . (３)性质:Ｄ(ａＸ ＋ ｂ) ＝ 　 　 　 　 . 　 　 想一想:离散型随机变量的方差和样本方 差之间有何关系? 练一练: １. 思考辨析 (正确的画 “√”ꎬ错误的画 “ × ”) (１)离散型随机变量 ξ 的期望 Ｅ(ξ)反映了 ξ 取值的概率的平均值. ( 　 ) (２)离散型随机变量 ξ 的方差 Ｄ(ξ)反映了 ξ 取值的平均水平. ( 　 ) (３)离散型随机变量 ξ 的方差 Ｄ(ξ)反映了 ξ 取值的波动水平. ( 　 ) (４)离散型随机变量的方差越大ꎬ随机变量 越稳定. ( 　 ) ２.已知随机变量 ξꎬＤ(ξ) ＝ １４ ꎬ则 Ｄ(２ξ ＋ １) ＝ 　 　 　 　 . ３. 若随机变量 Ｘ 服从两点分布ꎬ且在一次 试验中事件 Ａ 发生的概率 Ｐ ＝ ０. ５ꎬ则 Ｅ(Ｘ)和 Ｄ(Ｘ)分别为 ( Ｃ ) Ａ. ０. ２５ꎻ０. ５ Ｂ. ０. ５ꎻ０. ７５ Ｃ. ０. ５ꎻ０. ２５ Ｄ. １ꎻ０. ７５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 044 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 定义法求离散型随机变量的方差 　 　 典例 １ 袋中有 ２０ 个大小相同的球ꎬ其 中记上 ０ 号的有 １０ 个ꎬ记上 ｎ 号的有 ｎ 个(ｎ ＝ １ꎬ２ꎬ３ꎬ４) . 现从袋中任取一球ꎬ随机变量 Ｘ 表示 所取球的标号. 求 Ｘ 的分布列、均值和方差. [分析] 　 已知标数字 ｎ 的有 ｎ 个ꎬ即标数 字 １ 的有 １ 个、标数字 ２ 的有 ２ 个ꎬ标数字 ３ 的 有 ３ 个ꎬ标数字 ４ 的有 ４ 个ꎬ从而可以明确随机 变量 Ｘ 的取值及各个取值对应的概率ꎬ进而写 出 Ｘ 的分布列、求出 Ｘ 的均值ꎬ即可求得 Ｘ 的方 差. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�