7.3.2 离散型随机变量的方差-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差及标准差，前承随机变量均值，通过机床加工次品数等实例引出概念，构建“定义理解-性质推导-实际应用”学习支架，涵盖方差计算、性质及两点分布方差求法。 以问题驱动与实例分析为特色，借机床加工、投资决策等情境培养数学抽象与数据分析能力，典例讲评强化数学运算，课时分层作业兼顾课中教学引导与课后查漏补缺，助力核心素养落地。

7.3.2　离散型随机变量的方差 [学习目标]　1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(数学抽象) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(数学运算、数据分析) 3．掌握方差的性质以及两点分布方差的求法，会利用公式求它们的方差．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．离散型随机变量的方差、标准差的定义是什么？它们有什么区别和联系？ 问题2．方差的实际意义是什么？ 问题3．方差有哪些性质？ (对应学生用书第54页) 探究1　离散型随机变量的方差 问题　A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，产出次品的概率如下表： A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？ [提示]　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44． E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44． 它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工质量．可以利用方差，它可以刻画样本数据的稳定性． [新知生成] 1．方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差．并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 2．方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 【教用·微提醒】　(1)一般地，随机变量的方差是非负常数． (2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小． (3)方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2计算． (4)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p) ．(其中p为成功概率) (5)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同． [典例讲评]　1．(1)(多选)下列说法中错误的是(　　) A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 (2)已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． (1)ABD　[E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度．] (2)[解]　因为E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2， 所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1， ＝＝1． 　求离散型随机变量方差的步骤 (1)明确随机变量的所有可能取值，并理解每一个取值的意义． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出随机变量的分布列． (4)由分布列计算E(X)，进而求随机变量的方差D(X)． [学以致用]　1．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、方差及标准差． [解]　由题意得，X的可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝． 故X的分布列为 X 0 1 2 P ＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝×＋×＋×＝＝． 探究2　离散型随机变量方差的线性 运算性质 [新知生成] 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 (1)D(X＋b)＝D(X)． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)D(c)＝0(其中c为常数)． 【教用·微提醒】　运用方差性质解决问题，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程． [典例讲评]　2．已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及标准差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． [解]　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384， ∴σ(η)＝＝8． (2)∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1 536． [母题探究]　1．(变条件)将本例的分布列改为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 其他条件不变，如何求解？ [解]　(1)∵E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3， ∴D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2， ∴σ(X)＝＝． (2)∵Y＝2X－E(X)， ∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝22D(X)＝4×1.2＝4.8． 2．(变结论)本例条件不变，若Y＝4η＋3，求Y的均值和方差． [解]　因为Y＝4η＋3，所以E(Y)＝4E(η)＋3＝67， D(Y)＝42D(η)＝16×384＝6 144． 　求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解，通常用公式D(aX＋b)＝a2D(X )求解． [学以致用]　【链接教材P70练习T1】 2．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P 若E(X)＝． (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求的值． [解]　由分布列的性质，得＋＋p＝1， 解得p＝． ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2． (1)法一：D(X)＝×＋×＋×＝． 法二：D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝02×＋12×＋22×＝1－＝． (2)∵Y＝3X－2， ∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5， ∴＝． 【教材原题·P70练习T1】 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和σ(2X＋7)． [解]　E(X)＝2.4，D(X)＝0.84，D(2X＋7)＝22×0.84＝3.36，σ(2X＋7)＝． 探究3　方差的实际应用 [典例讲评]　【链接教材P69例6】 3．某投资公司在2025年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目可供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和． 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为和． 针对以上两个投资项目，请你为该投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． [解]　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为 X1 300 －150 P ∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200， D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000． 若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为 X2 500 0 －300 P ∴E(X2)＝500×＋0×＋(－300)×＝200， D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000． ∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二平均获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 【教材原题·P69例6】 例6　投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3－9和表7.3－10所示． 表7.3－9　股票A收益的分布列 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表7.3－10　股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ [分析]　股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低． [解]　(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 E(X)＝(－1)×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1， E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1． 因为E(X)>E(Y)，所以投资股票A的期望收益较大． (2)股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(X)＝＝1.29， D(Y)＝02×0.3＋12×0.4＋22×0.3－12＝0.6． 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投资股票A比投资股票B的风险高． 　(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论． (2)均值体现了随机变量取值的平均水平，有时只比较均值往往是不恰当的，还需比较方差，才能准确地得出更适合的结论． [学以致用]　3．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列如下表所示． ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． [解]　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3． 同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4． (2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6． 由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣． (对应学生用书第57页) 1．(教材P70练习T1改编)已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝(　　) A．6　　　 B．8　　 C．18　　　 D．20 C　[∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18．] 2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4．由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 B　[∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙水稻分蘖更整齐．故选B．] 3．设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)＝(　　) A．m 　 B．2m(1－m) C．m(m－1) 　 D．m(1－m) D　[由题意P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，所以E(X)＝m，所以D(X)＝(0－m)2(1－m)＋(1－m)2m＝m(1－m)．] 4．随机变量ξ的分布列如下表所示，则D(ξ)＝________． ξ 1 2 3 P 1－m 3m2－m－ 　[由分布列的性质可得，＋1－m＋3m2－m－＝1， 解得m＝0或m＝， 当m＝0时，3m2－m－＜0，不符合题意，舍去， 所以m＝， 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝， 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝．] 1．知识链： 2．方法链：转化与化归． 3．警示牌：方差公式套用错误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．随机变量X的方差和标准差反映了随机变量X的哪些特征？ [提示]　反映了X取值的稳定性和波动程度，集中与离散程度． 2．D(X)越小，随机变量X的取值怎样？ [提示]　越稳定，波动越小． 课时分层作业(十六)　离散型随机变量的方差 (对应学生用书第145页) 一、选择题 1．(多选)已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则(　　) A．X的可能取值为0，1　 B．X服从两点分布 C．E(X)＝1 　 D．D(X)＝ ABD　[由已知X的可能取值为0，1，且服从两点分布． P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝＋×＝， ∴E(X)＝0×＋1×＝， D(X)＝×＋×＝．故选ABD．] 2．随机变量X的分布列如下，且E(X)＝1.4，则＝(　　) X 0 1 2 P 0.2 p1 p2 A．0.64 　 B．0.32 C．0.16 　 D．0.08 C　[根据题意可得 解得 所以D＝D(X)＝×[0.2×(1.4－0)2＋0.2×(1－1.4)2＋0.6×(2－1.4)2]＝0.16． 故选C．] 3．以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为 X1 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？(　　) A．甲 　 B．乙 C．甲、乙均可 　 D．无法确定 A　[E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1， E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69． ∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 即甲比乙得分稳定，选甲参加较好．] 4．已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(12X＋2)＝9，则D(X)＝(　　) X －1 0 a 2 P b A．　　　 B． C．　　　 D． C　[因为＋b＋＋＝1，解得b＝， 因为E(12X＋2)＝12E(X)＋2＝9， 解得E(X)＝，此时E(X)＝－1×＋0×＋a×＋2×＝， 解得a＝1， 则D(X)＝×＋×＋×＋×＝． 故选C．] 5．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P(X≥D(X))等于(　　) X 0 1 2 3 P A．　　　 B． C．　　　 D． A　[由题意得E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1， 故P(X≥D(X))＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝．] 二、填空题 6．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为________． 3　[∵E(X)＝x1＋x2＝，∴x2＝4－2x1， 又D(X)＝××＝， ∵x1<x2，∴ ∴x1＋x2＝3．] 7．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为________，此时p＝________． 　[随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p． 从而E(X)＝0·(1－p)＋1·p＝p， D(X)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2 ＝－＋． ∵0<p<1， ∴当p＝时，D(X)取最大值，最大值是．] 8．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)＝________． 　[X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝， 则D(X)＝×＋×＋×＝．] 三、解答题 9．已知随机变量X的分布列如下表所示． X －2 1 3 P 0.16 0.44 0.40 求E(X)，E(2X＋5)，D(X)，D(2X＋5)． [解]　由分布列可得，E(X)＝－2×0.16＋1×0.44＋3×0.40＝1.32． 所以E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×1.32＋5＝7.64． D(X)＝(－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32)2×0.44＋(3－1.32)2×0.40＝2.937 6． 所以D(2X＋5)＝4D(X)＝4×2.937 6＝11.750 4． 10．(多选)盒中有3个球，其中1个红球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(ξ＝0)＝　　　　 B．E(ξ)＝1 C．E(3ξ＋1)＝3 　 D．D(3ξ＋1)＝6 ABD　[易知盒中有3个球，其中1个红球，2个黄球， ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球， 所以P(ξ＝0)＝，故选项A正确； 因为ξ的所有可能取值为0，1，2， 所以P(ξ＝1)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＝， 则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，故选项B正确； 因为E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×1＋1＝4，故选项C错误； D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝，D(3ξ＋1)＝9D(ξ)＝6，故选项D正确． 故选ABD．] 11．(多选)离散型随机变量X的分布列如表所示，m，n是非零实数，则下列说法正确的是(　　) X 2 024 2 025 P m n A．m＋n＝1 B．X服从两点分布　 C．2 024＜E(X)＜2 025 D．D(X)＝mn ACD　[对于A，由分布列的性质，得m＋n＝1，所以A正确； 对于B，根据二点分布知随机变量X的取值为0和1，所以B不正确； 对于C，由期望的公式，可得E(X)＝2 024m＋2 025n＝2 024(1－n)＋2 025n＝2 024＋n， 因为0＜n＜1，所以2 024＜2 024＋n＜2 025， 即2 024＜E(X)＜2 025，所以C正确； 对于D，由方差的公式，可得D(X)＝[2 024－(2 024＋n)]2·m＋[2 025－(2 024＋n)]2·n＝n2·m＋(1－n)2·n＝mn2＋m2n＝mn(m＋n)＝mn， 即D(X)＝mn，所以D正确． 故选ACD．] 12．(多选)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则(　　) X －1 0 1 2 P a b c A．a＝ 　 B．b＝ C．c＝ 　 D．P(X＜1)＝ ABD　[由题意可得，E(X)＝－a＋c＋＝0， 由X的分布列可得X2的分布列如下： X2 0 1 4 P b a＋c 所以E(X2)＝a＋c＋4×＝a＋c＋， 又因为E(X)＝0， 所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝a＋c＋， 由题设有解得 故A，B正确， 而P(X＜1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝a＋b＝＋＝，故D正确． 故选ABD．] 13．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示． 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为________． 9.8　[由题意得，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1． 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3， D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8． 故工期延误天数Y的方差为9.8．] 14．有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下： X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量． [解]　由题表中的数据，有E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30， E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30． D(X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1， D(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38． 因此E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)<D(X乙)， 所以甲种棉花的纤维长度比乙种棉花纤维长度更均匀一些，从这个意义上说，甲种棉花的质量好于乙种棉花的质量． 15．已知随机变量ξ的所有可能取值为m，n，其中P(ξ＝m)＝P(ξ＝n)＝，则E(ξ)＝________，当D(ξ)取最小值时，mn＝________． 　[由分布列的性质得＋＝1， 则m＋n＝1， 所以E(ξ)＝m·＋n· ＝＝， D(ξ)＝×＋× ＝×＋× ＝≥0， 当且仅当m＝n＝时，等号成立， 此时mn＝．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $