专题10 几何最值问题之隐圆模型（B卷23题）-2024年四川成都中考数学必考重点专题题型归纳与复习

专题10 几何最值问题之隐圆模型（B卷23题） 【经典例题】 例1．（2020·四川成都·统考中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ． 例2．（2023·四川成都·统考一模）如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接交对角线于点，过点作，交于点，连接交于点，在点的运动过程中，面积的最小值为 ． 例3．（2023·四川成都·统考二模）如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．    例4．（2023·四川成都·成都七中校考三模）中，，，点为上的一点，且，则的最小值为 ．    例5．（2022·四川成都·统考二模）已知：如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一动点（不与，重合），连接，将沿翻折得，连接，，当线段的长取最大值时，的值为 ． 【专项训练】 1.如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ． 2．如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 ． 3．如图，已知正方形的边长为2，点P在射线上，则的最小值为 ．    4．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 5．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 6．如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为 . 7．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，在中，，，点、分别在边、上，点为边的中点，，连接、相交于点，则面积最大值为 ． 8．（2023·四川巴中·校考一模）如图，在边长为3的等边中，E、F分别是边、的动点，且，连接、交于点P，连接，则的最小值为 ． 9．（2021·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x＋4的图象与x轴、y轴交于A、B点，点C在线段OA上，点D在直线AB上，且CD＝2，△DEC是直角三角形（∠EDC＝90°），DE＝DC，连接AE，则AE的最大值为 ． 10．（2022·四川成都·统考二模）如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 ． 11．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中, 点A的坐标为, 点B的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时， ，点的坐标为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 几何最值问题之隐圆模型（B卷23题） 【经典例题】 例1．（2020·四川成都·统考中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案． 【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3， 设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ