专题09 几何最值问题之将军饮马模型（B卷23题）-2024年四川成都中考数学必考重点专题题型归纳与复习

专题09 几何最值问题之将军饮马模型（B卷23题） 【经典例题】 例1．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 ． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则的最小值是 ． 例3．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线，在直线上方作等边，点B，C在直线上，延长交直线于点D，在上方作等边，点F在直线上且在点D右边．动点M，N分别在直线，上，且，若，则的最小值是 ． 例4．（2023·四川成都·校考二模）如图，在菱形中，，对角线，交于点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，当线段的长度最小时，的长为 ． 【专项训练】 1．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 2．（2023·四川成都·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，点在延长线上，，过点作的垂线交延长线于点．若，连结，，则的最小值为 ． 3．（2023·四川绵阳·统考二模）平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为 ． 4．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是 ． 5．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是 6．（2021上·四川成都·九年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边AB，边BC上运动，点G在矩形内，且DG⊥CG，EF⊥FG，FG：EF＝1：2，则线段GF的最小值为 ． 7．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是 ． 8.如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．    9．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度． 10．（2023·四川成都·统考二模）如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 11.（2023·四川成都·统考一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 几何最值问题之将军饮马模型（B卷23题） 【经典例题】 例1．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案． 【详解】延长DE，交AB于点H， ∵，ED⊥CD， ∴DH⊥AB． 取FH=BH， ∴点P的对称点在EF上． 由点B，D关于直线AC对称， ∴QD=QB． 要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF． 连接BD，与AC交于点O． ∵AE=14,CE=18，     ∴AC=32， ∴CO=16，EO=2． ∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°， ∴∠DEO=∠CDO． ∵∠EOD=∠DOC， ∴ ， ∴， 即，   解得， ∴． 在Rt△DEO中，． ∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据，，求出点D到线段的距离为2，根据对