与离心率有关的二级结论　讲义——2024届高三数学一轮复习

与离心率有关的二级结论 一、与几何性质有关的离心率结论 【结论1】如图1，在椭圆中，F1、F2为左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M是∠F1PF2角平分线与x轴的交点，则椭圆的离心率. 图1 证明：因为PM是∠F1PF2平分线，所以，， 所以. 【结论2】如图2，在椭圆中，F1、F2为左、右焦点，P为椭圆上任意一点，I是△PF1F2的内心，M是的延长线与x轴的交点，则椭圆的离心率. 图2 证明：连接IF1、IF2，因为IF1、IF2所在的直线是角平分线，所以，， 所以. 【结论3】如图3，在椭圆中，F1、F2为左、右焦点，P为椭圆上任意一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则椭圆的离心率. 图3 证明：在△PF1F2中，由正弦定理， 所以，因此. 【结论4】如图4，在椭圆中，F1、F2为左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M是外角平分线与x轴的交点，且∠MPF2=α，∠PMF2=β，则椭圆的离心率. 图4 证明：由外角可知∠PF1F2=α-β，∠PF2F1=α+β， 再由结论3可得. 【结论5】如图5，在椭圆中，F1、F2为左、右焦点，P为椭圆上任意一点，PM是过右焦点的焦点弦，N为焦点弦的中垂线与x轴的交点，则. 图6 证明：设P(x1，y1)，M(x2，y2)，PM中点(x0，y0)，由焦点弦坐标公式得， . 因为P(x1，y1)，M(x2，y2)都在上，所以， 由点差法得，， 则直线的中垂线的方程为： 所以N(e2x0，0)，，. 【结论6】如图6，在椭圆焦点三角形△PF1F2中，∠F1PF2=θ，则当P为短轴端点时，θ最大，且椭圆离心率. 图7 证明：设PF1=x，PF2=y，则x+y=2a，在△PF1F2中，由余弦定理得 所以，即.当且仅当x=y时等号成立，即P为短轴端点时. 【结论7】如图7，设P为椭圆上一点，A1(-a，0)，A2(a，0)，∠A1PA2=θ，当P为短轴端点时，∠A1PA2最大，且. 图7 证明：不妨设P(x，y)且0<y≤b，直线A1P，A2P的倾斜角分别为α，β， 则. 将代入得. 当y=b时取等，即P为短轴端点时，∠A1PA2最大， 所以，所以，所以. 【结论8】如图8，焦点在x轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为θ，斜率为k(k≠0)，，则曲线C的离心率e满足等式：或. 图8 【推论1】在抛物线（焦点在x轴上）中，e=1，则. 【推论2】若交于双曲线（焦点在x轴上）两支，则. 【推论3】焦点在y轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，若直线AB的倾斜角为θ，斜率为k(k≠0)，，则曲线C的离心率e满足等式：或. 证明：以焦点在x轴的椭圆为例，因为，，，所以，所以1+ecos θ=λ(1-ecos θ)，所以. 【结论9】如图9，在椭圆C：中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若kPA，kPB存在，则有. 图9 证明：设P(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(-x2，-y2)，，， 点A和点P在椭圆上，则有， 作差得，即， 所以. 【结论10】如图10，AB为椭圆C：的不平行于对称轴的弦，P(x0，y0)为线段的中点，O为原点，则. 图10 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 点A和点B在椭圆上，则有， 作差得， 所以，即. 二、共焦点离心率常用结论 【结论11】如图11，已知点F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)是椭圆C1：与双曲线C2：共同的焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，点P(x0，y0)是C1与C2的一个公共点，则，，. 图11 证明：由已知得，消去y得， 所以. 又，所以，所以. 又，所以，所以，. 【结论12】如图12，已知点F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，是椭圆与C1：与双曲线C2：共同的焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，点P(x0，y0)是C1与C2的一个公共点，∠F1PF2=θ，则|PF1|·|PF2|=a2-m2，，. 图12 证明：由椭圆与双曲线的定义得， 两式分别平方再相减得， 在△PF1F2中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以， 所以. 由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得，所以， 所以. 【结论13】如图13，已知点F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，是椭圆与C1：与双曲线C2：共同的焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，点P(x0，y0)是C1与C2的一个公共点，∠F1PF2=θ，则，. 图13 证明：由结论12得，又，，所以. 注意到，所以. 【结论14】如图14，已知点F1(-c，0)，F2(c，0)(c>0)，是椭圆与C1：与双曲线C2：共同的焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，