专题06 相似三角形（知识串讲+13大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题06 相似三角形 考点类型 知识一遍过 （一）图形相似的性质 （1）相似多边形对应边的比叫做相似比． （2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形． （3）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． （4）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形 （二）平行线平分线段成比例 （1）比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． （2）比例的基本性质 ①基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0） ②合比性质：⇔＝；（b、d≠0） ③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔＝k．（b、d、…、n≠0） （3）平行线分线段成比例定理及推论 ①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 即如图所示，若l3∥l4∥l5，则． ②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 即如图所示，若AB∥CD，则． ③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC． （4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． （三）相似三角形的判定 相似三角形的判定 判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴ 判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴ 判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；；∴ （四）相似三角形的性质 如图：两个三角形相似，则有对应边成比例 ∵；∴ 如图；两个三角形相似，则有对应角相等 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比 ∵； ∴ （五）常见的相似模型 模型一：A字模型 模型二：8字模型 模型三：子母模型（射影定理） 模型四：一线三等角模型 模型五：手拉手模型（旋转模型） （六）相似三角形的应用举例 （1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 （2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 考点一遍过 考点1：比例的性质 典例1：（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【变式1】（2024上·北京石景山·九年级统考期末）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如果，那么等于（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知正数a、b、c，且，则下列四个点中在正比例函数图象上的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点2：线段的比 典例2：（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（    ） A． B． C．0.618 D． 【变式1】（2023上·四川·九年级校考阶段练习）中，是的中点，、三等分、与、分别交于、，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（    ） A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2 【变式3】（2023上·九年级校考单元测试）把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽（宽<长<2宽）的比为（    ） A． B． C． D． 考点3：成比例线段 典例3：（2023上·吉林长春·九