专题05 特殊三角形（知识串讲+13大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题05 特殊三角形 考点类型 知识一遍过 （一）等腰三角形的性质与判定 （1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°. （二）等边三角形的性质与判定 （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形. 即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形. 注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB. （三）角平分线与垂直平分线的性质 （1）角平分线 ①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. ②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。 （2）垂直平分线 ①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB. ②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （四）直角三角形的性质 （1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°； （2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝AB； （3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB． （4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2． （五）直角三角形的判定 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形； （2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形 （3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 考点一遍过 考点1：等腰三角形的性质——等边对等角 典例1：（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）如图， ，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D、E两点，并连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2018·天津河东·八年级统考期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 考点2：等腰三角形的性质——三线合一 典例2：（2024上·河北沧州·八年级统考期末）如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【变式1】（2023上·新疆喀什·八年级校联考期中）如图，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D． 【变式2】（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点． 【变式3】（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【变式4】（2023上·全国·八年级课堂例题）如图①所示，点D，E在的边上，． (1)若，求证：． (2)如图②所示，若，F为的中点，，求的度数． 【变式5】（2024上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且． (1)判断并说