专题07：解三角形（五大题型）-2024年新高考数学新题型试卷结构冲刺讲义

2024届新高考二轮复习第七讲：解三角形 “九省联考”未独立考查解三角形，而是作为一个解题工具应用在圆锥曲线解题中，是一个新高考改革的方向。 8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故. 故选：D. 题型一：正弦、余弦定理 【典例例题】 例1.（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：由正弦定理及条件可得， 由余弦定理可得，化简得． （2）由得， 化简得，又，故， 所以，故． 【变式训练】 1.（2024春·新高考）（多选）在中，，，，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由正弦定理， 得， 又因为，所以， 因为，所以或. 故选：CD. 2.（2024春·四川雅安）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理知，，则．因为，所以． 故选：A 3.（2024春·江苏南通）记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由正弦定理可得， 又，在中，， 故， 即，故“”是“”的充分条件； 当时，例如，，，， 有，符合题意，但， 故“”不是“”的必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2024春·广东深圳）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以，由双曲线的定义可得， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D . 题型二：三角形面积公式 【典例例题】 例1.（2024春·贵州黔东南）在中，内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得， 则，而，因此，又， 所以. （2）由（1）及余弦定理得：，即， 解得或，当时，， 当时，， 所以的面积为或. 【变式训练】 1.（2024春·浙江）记的内角所对的边分别是，且满足. (1)证明：； (2)若的面积为，求； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由得， 则， 得， 若，则， 则均为直角，与题设矛盾， 故，故， 故，故. （2）， 所以，则， ， 从而， 又，从而，， 所以. 2．（2024春·陕西）在中，为边上一点，，且的面积为． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知， 解得， 所以， 所以； （2）由（1）可得，则， ， 在中，， 即， 又为锐角，所以， 所以， 3．（2024春·江西）在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，． (1)若，求c； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得：，故 又，即， ，即 在中，根据余弦定理得 即 ，即， （2）， ，即 又，① 又②，由①②得： 题型三：正弦、余弦定理在几何中的应用 【典例例题】 例1.（2024春·广东实验中学）在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点， （1）若，求的长； （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 所以，化简得， 解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 ， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以， 设，所以， 即，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得 . 【变式训练】 1.（2024春·山东济南）在中，内角，，的对边分别为，，．已知. (1)求； (2)若，且边上的高为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 由正弦定理得，即； （2）由题意得，， 由余弦定理得， 解得（负值舍去）， 因为边上的高为， 所以， 则，所以，， 故的周长． 2．（2024春·黑龙江齐齐哈尔）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线长. 【答案】(1)