山东省潍坊市国开中学2023-2024学年高二下学期开学收心数学试题

潍坊国开中学高二开学收心考试数学试卷（2024.3） 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则可能取值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知圆则其圆心到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知不同的直线与直线，不同的平面与平面，则下列能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（    ） A．双曲线的渐近线为 B．的离心率为 C．的方程为 D．的面积为 8．已知点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 10．已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果A，B相互独立，则 D．如果A，B相互独立，则 11．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l必过点 B．直线l与圆E必相交 C．圆与圆E有3条公切线 D．当时，直线l被圆E截得的弦长为 12．如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 13．经过点且与直线平行的直线方程是 . 14．某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为 种． 15．过椭圆左焦点 F作x轴的垂线，交椭圆于 P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是 . 16．某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 四、解答题 17．已知二项式的展开式中共有11项. (1)求展开式的第3项的二项式系数； (2)求展开式中含的项. 18．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 19．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 20．如图，在四棱锥中，平面，，E是棱PB上一点．    (1)求证：平面平面PBC； (2)若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值． 21．2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响． (1)求甲，乙都通过考试的概率; (2)记事件“甲、乙共答对两道题”，求． 22．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 高二数学期末模拟试卷参考答案 1．B2．D3．B4．D5．C6．D7．D8．C 9．ABC10．ABD11．BC12．ABC 13． 14．60 15． 16． 【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式， 得， 因此该同学第天去餐厅用餐的概率为. 故答案为：. 17．【详解】（1）因为二项式的展开式中共有11项，所以， 所以展开式的第3项的二项式系数为. （2）的展开式的通项公式为； 令可得，所以展开式中含的项为. 18【详解】（1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 19．【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以， 因为是直棱柱， 所以平面， 因此平面的一个法向量为， 所以，即，又平面，所以平面； （2）因为，，， 设平面的法向量为， 则，