第八章 平面向量（6大知识归纳+8大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）

第八章 平面向量 （知识归纳+题型突破） 一、 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量； 向量的大小叫做向量的模 平面向量是自由向量 向量的模 向量的大小，也就是向量的长度 记作 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 模为1的向量 与非零向量同向的单位向量为 向量平行 两个非零向量所在直线平行或重合； 或称作向量共线 记作； 与任一向量平行 相等向量 模相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 负向量 模相等但方向相反的向量 的负向量为 二、向量的表示 1、几何表示： 常常把向量用有向线段(directed line-segment，即指定了方向的线段)表示出来，线段的长度就是向量的大小，线段的方向表示向量的方向. 2、字母表示 向量通常用上方加箭头的小写字母表示，如 ，读作向量. 向量也可以用上方加箭头的两个大写字母表示，如，读作向量AB，其中A是向量的起点，B是向量的终点. 3、坐标表示（见：第五部分） 三、向量的运算 1、向量的线性运算 向量的加法、减法及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算.从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合. 向量运算 形式 法则（或几何意义） 运算律 加法 向量加法的平行四边形法则： 向量加法的三角形法则： （1）交换律： （2）结合律： 减法 三角形法则： 数乘 （1）是一个向量，模； （2）当时，的方向与的方向相同； 当时的方向与的方向相反； 当或时，. ； ； . 注：①向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． ②两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． 2、向量的数量积 概念 定义 备注 向量的夹角 以一点为起点，作，我们把射线OA、OB的夹角称为向量与的夹角. 记作，它的取值范围为. 特别地，当时，称与垂直，记作. 投影向量 如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为点和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量，简称为投影. 从而，一个向量在一个非零向量的方向上的投影，就是在的任意一条所在直线上的投影. 因为所有这些直线都互相平行，所以在的方向上的投影（在相等意义下）是唯一确定的. 数量投影 实数称为向量在向量方向上的数量投影. 它是一个数量，其绝对值等于向量在向量方向上的投影的模. 向量的数量积 ， 等于其中一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的数量投影的乘积 约定：记作，即为； 规定：零向量与任意向量的数量积为0； 运算律： （1） （2） （3） 特别注意： （1）； （2）结合律不成立：； （3）消去律不成立，不能得到； （4）=0，不能得到=或=0． （5）乘法公式成立： ； ． （6）向量夹角公式： （7），当且仅当时等号成立. 四、向量重要定理 1、向量共线的充要条件 向量与非零向量平行的充要条件是：存在实数，使得 2、向量基本定理 如果是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，都可唯一的表示为的线性组合，即存在唯一的一对实数与，使得. 给定平面上的一组向量，如果平面上的任意向量都可以唯一地表示成这组向量的线性组合，那么就称这组向量是平面向量的一个基. 3、两个非零向量垂直的充要条件： 4、定比分点公式与中点公式 （1）若点P是直线上的一点，且（），O为直线外一点. 坐标分别为，P坐标为.则： 且： （2）当时，，即中点公式. 五、向量的坐标表示 1、向量的正交分解与坐标表示 把向量写成所在平面上两个不平行向量与的线性组合的过程称为关于与的分解.时，称为向量的正交分解. 在平面直角坐标系中任意一个向量关于轴与轴正方向上的单位向量与的分解就是一个正交分解.这个正交分解称为向量在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对则称为向量的坐标，并直接表示成 . 并可以直接用向量的坐标代表一个向量. 一一对应：向量=向量点． 2、向量运算的坐标形式 设 与 均是坐标表示的向量， 是一个实数， 则 （1）向量相等： （2）向量加减： （3）数乘向量： （4）向量的数量积： （5）向量的模： （6）向量的夹角公式： 六、向量的应用 1、平面几何中的向量方法 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证