第八章 平面向量（6大易错与4大拓展）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）

第八章 平面向量（易错与拓展） 易错点1：零向量 【例1】下列命题中，正确的是（    ） A．若，则与方向相同或相反 B．若，，则 C．若，，则 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 针对训练1.1 下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 针对训练1.2 下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 易错点2：忽视向量的方向 【例2】在下列结论中，正确的为 A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．向量就是有向线段 D．零向量是没有方向的 针对训练2.1下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 针对训练2.2下列说法正确的是（   ） A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 易错点3：向量夹角忘记共起点找夹角 【例3．1】在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 【例3.2】在等边三角形中，与的夹角为 ；点为的中点，则与的夹角为 ． 针对训练3.1 已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 针对训练3.2在等边三角形ABC中，向量与的夹角为 ． 易错点4：忽视向量数量积不满足结合律 【例4】（多选）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 针对训练4.1（多选）下列各命题中，正确的命题为（    ） A． B． C． D． 针对训练4.2 给出下列命题，其中错误的命题是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 易错点5：求向量的模忘记开根号 【例5.1】已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 针对训练5.1已知向量，满足，，则 ． 针对训练5.2 已知，为单位向量，且与的夹角为，则＝（    ） A．49 B．19 C．7 D． 易错点6：已知向量夹角是锐角/钝角求参时忘记排除共线情况 【例6】若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_________. 针对训练6.1 已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是___________ 拓展1：等和线 1、拓展（1） 在平面内， 是不共线向量，设，P、A、B三点共线. 证明： P、A、B三点共线，则存在实数，， 即有， 所以， 令，则. 关键： （1）三个向量起点相同，且作为基底的两个向量不共线； （2）基底数乘的系数和为定值1与三点共线是充要的. 2、拓展（2） 如图，已知， 设直线OP与AB交于P’点，则存在实数，， 存在，且， 则， 所以. 根据上面的推导过程，我们可以看到， 当P与A、B不共线时，就等于相对于的数乘.绝对值就是两个模长之比，符号则看方向即可. 而等于给定值时，根据相似三角形，P点就在对应相似比的AB的平行线上. 3、应用 【例1.1】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．点在以为圆心的圆弧上变动，若，其中，，则的最大值是 　 　． 【例1.2】在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________． 针对训练1.1 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为，并且．若将点到正八角星16个顶点的向量都写成的形式，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 针对训练1.2 如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________. 拓展2：向量与三角形（奔驰定理、四心等） 1、 三角形内拓展结论 （1） 奔驰定理 已知是内一点，，，的面积分别为，，，则． （2）重心G（中线的交点） ①； ② 或； ③重心分每条中线分为2：1的两短． （3）内心I（内切圆圆心I ，角平分线的交点） ①； ② 注：表示为∠A的角平分线． （4）*外心O （外接圆圆心，中垂线的交点） ①（R为外接圆半径）；