第7章 复数 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

章末知识梳理 知识体系构建 数 系 扩 充 复 数 引 入 复 数 的 概 念 → 复数的代数形式→ z = a + bi(a,b ∈ R) ↑ 复数代数形式的 四则运算 → 减法法则 (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 复数减法的几何意义 复平面上两点间的距离 d = | z1 - z2 | 加法法则 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 复数加法的几何意义 乘法法则 (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 除法法则 a + bi c + di = ac + bd c2 + d2 + bc - ad c2 + d2 i(c + di ≠ 0) 复数的三角形式→ z = r(cos θ + isin θ) ↓ 复数乘、除运算 的三角表示 → 乘法法则 r1(cos θ1 + isin θ1)·r2(cos θ2 + isin θ2) = r1 r2[cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)] 除法法则 r1(cos θ1 + isin θ1) r2(cos θ2 + isin θ2) = r1 r2 [cos(θ1 - θ2) + isin(θ1 - θ2)] 核心知识归纳 　 　 1.复数的有关概念 (1)虚数单位 i. (2)复数的代数形式 z = a + bi(a,b∈R) . (3)复数的实部、虚部、虚数与 纯虚数. 2.复数集 复数a +bi (a,b∈R) 实数(b =0), 虚数(b≠0)(当a =0时为纯虚数).{ 3.复数的几何形式 (1)用点 Z(a,b)表示复数 z = a + bi(a,b∈ R),用向量OZ→表示复数 z = a + bi(a,b∈R),Z 称为 z 在复平面上的对应点,复数与复平面上的 点一一对应(坐标原点对应实数 0) . (2)任何一个复数 z = a + bi 一一对应着复 平面内一个点 Z(a,b),也一一对应着一个从原 点出发的向量OZ→. 　 　 4.共轭复数与复数的模 (1)若 z = a + bi(a,b∈R),则z = a - bi,z + z 为实数,z - z为纯虚数(b≠0) . (2)复数 z = a + bi 的模 | z | = a2 + b2,且 z·z = | z | 2 = a2 + b2. 5.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数 z1,z2 对应的向量OZ1 →,OZ2 → 不共线, 则复数 z1 + z2 是以OZ1 →,OZ2 → 为两邻边的平行四 边形的对角线OZ→所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z1 - z2 是连接向量OZ1 →,OZ2 → 的终点,并 指向 Z1 的向量所对应的复数. 6.复数的四则运算 设 z1 = a + bi,z2 = c + di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法: z1 + z2 = ( a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i. (2)减法: z1 - z2 = ( a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i. (3)乘法: z1 · z2 = ( a + bi) ·( c + di) = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 069 (ac - bd) + (ad + bc)i. (4)除法: z1 z2 = a + bic + di = (a + bi)(c - di) (c + di)(c - di) = ac + bd + (bc - ad)i c2 + d2 (c + di≠0) . (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配 律都适合于复数的情况. (6)特殊复数的运算:in(n 为正整数)的周 期性运算;(1 ± i) 2 = ± 2i. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 要点专项突破 要点一 有关复数的概念 　 　 复数常设为 z = a + bi(a,b∈R),z∈R⇔b = 0;z 为虚数⇔b≠0;z 为纯虚数⇔a = 0 且 b≠0. 　 　 典例 1 当实数 a 为何值时,z = a2 -2a + (a2 -3a +2)i. (1)为实数; (2)为纯虚数; (3)对应的点在第一象限内; (4)复数 z 对应的点在直线 x - y = 0 上. [分析]