第6章 平面向量及其应用 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

课堂检测·固双基 1. 如图,为了测量障碍物两侧 A、B 之间的距离, 给定下列四组数据,测量时应该用的数据为 ( C ) A. α,a,b　 　 　 　 B. α,β,a C. a,b,γ D. α,β,b 2. 从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的 俯角为 β,则 α,β 的关系为 ( B ) A. α > β B. α = β C. α + β = 90° D. α + β = 180° 3. 已知两座建筑 A,B 与规划测量点 C 的距离相 等,A在 C 的北偏东40°,B 在C 的南偏东60°,则 A在B 的 ( B ) A. 北偏东 10° B. 北偏西 10° C. 南偏东 10° D. 南偏西 10° 4. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测 得 AC 的长度为 4 m,∠A =30°,则其跨度 AB 的 长为 ( D ) A. 12 m B. 8 m C. 3 3 m D. 4 3 m 5. 如图,线段 AB,CD 分别表示甲、乙两楼,AB⊥ BD,CD⊥BD,从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角为 α = 30°,测得乙楼底部 D 的俯 角 β = 60°,已知甲楼高 AB = 24 米,则乙楼高 CD = 　 　 　 　 米. 请同学们认真完成练案[14] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章末知识梳理 知识体系构建 实际背景 向量的概念 ↓ 向量的运算及其几何意义 ↓ 向量的加、减运 算及其几何意义 平行四边形法则 三角形法则 向量的数量积 及其几何意义 a·b = | a | | b | cos θ 向量的夹角 cos θ = a·b| a | | b | 向量的模 | a | = a·a = a2 向量的数乘运算 及其几何意义 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的应用余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccos A b2 = c2 + a2 - 2cacos B c2 = a2 + b2 - 2abcos C 正弦定理 a sin A = b sin B = c sin C = 2R 048 核心知识归纳 　 　 1.五种常见的向量 (1)单位向量:模为 1 的向量. (2)零向量:模为 0 的向量. (3)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零 向量. (4)相等向量:模相等,方向相同的向量. (5)相反向量:模相等,方向相反的向量. 2.两个重要定理 (1)向量共线定理:向量 a( a≠0)与 b 共 线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使 b = λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一 个平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2, 使 a = λ1e1 + λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 3.两个非零向量平行、垂直的等价条件 若 a = (x1,y1),b = (x2,y2),则 (1)a∥b⇔a = λb(λ≠0)⇔x1y2 - x2y1 = 0, (2)a⊥b⇔a·b = 0⇔x1x2 + y1y2 = 0. 4.平面向量的三个性质 (1)若 a = (x,y),则 |a | = a·a = x2 + y2 . (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 |AB→ | = (x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 . (3)若 a = (x1,y1),b = (x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角, 则 cos θ = a·b| a | | b | = x1x2 + y1y2 x21 + y21 x22 + y22 . 5.向量的投影 向量 a 在 b 方向上的投影为 | a | cos θ = a·b | b | ,其中 θ 为 a 与 b 的夹角. 　 　 6.向量的运算律 (1)交换律:a + b = b + a,a·b = b·a. (2)结合律:a + b + c = (a + b) + c,a - b - c = a - ( b + c),(λa) ·b = λ ( a· b) = a· (λb) . (3)分配律:(λ + μ) a = λa + μa,λ(a + b) = λa + λb,(a + b)·c = a·c + b·c. (4)重要公式:(a + b)·(a - b) = a2 - b2, (a ± b) 2 = a2 ± 2a·b + b2 . 7.正弦定理与余弦定理 定理