重难点6-2 空间几何体的交线与截面问题（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点6-1 空间几何体的交线与截面问题 空间几何体的交线与截面问题既是高考数学的热点，也是难点，往往在高考的选填压轴题中出现，难度较大。此类题目综合考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力，处理这类问题的基本思路是借助空间点线面的位置关系和相应的定理，将空间问题平面化。 【题型1 作出空间几何体的截面】 满分技巧 1、作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们的交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线； 2、作交线的方法有如下两种：（1）利用基本事实3作直线；（2）利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线。 【例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． （1）画出过点，，的平面与平面的交线； （2）设平面，求的长． 【变式1-1】（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）如图，正方体的棱长为分别为棱的中点. （1）请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） （2）求点到平面的距离. 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． （1）请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． （2）求截面的面积． 【变式1-3】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点． （1）过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； （2）求平面与平面的所成角的余弦值． 【题型2 判断截面多边形的形状】 满分技巧 判断截面多边形形状时需要注意以下几点： 1、截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。 2、不会与同一个表面有两条交线。 3、与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） 4、截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 【例2】（2024·广东深圳·高三统考期末）（多选）在正方体中，用垂直于的平面截此正方体，则所得截面可能是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2-1】（2023·江西宜春·高三宜丰中学校考阶段练习）在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，则（ ） A．该截面是四边形 B．平面 C．平面平面 D．该截面与棱的交点是棱的一个三等分点 【变式2-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）（多选）已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（ ） A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形 B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形 C．当，时，截面为五边形 D．当，，时，截面为梯形 【题型3 求解截面多边形的周长】 满分技巧 求解截面多边形的周长有两个思路：（1）利用多面体展开图进行求解；（2）在各个表面确定交线，分别利用解三角形进行求解。 【例3】（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）如图，已知正方体的棱长为为的中点，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ） A． B．9 C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高三对口高考）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ． 【变式3-3】（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱中，，点分别是，的中点，则过点的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为（ ） 【变式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【题型4 求解截面多边形的面积】 满分技巧 求解截面多边形的面积问题的步骤：（1）通过解三角形求得截面多边形各边的长度；（2）判断多边形的形状是否规则，若为规则图形可直接使用面积公式求解；否则可通过切割法将多边形分为多