第五章 专题三 与平行线有关的证明问题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(人教版)河北专用

年级下册·RJ河北专用 数 学 第五章　相交线与平行线 专题三　与平行线有关的证明问题 类型1　证明角相等 1. 如图所示，在三角形 ABC 中，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠ B . 求证：∠ AED ＝∠ C . 证明：∵∠1＋∠ DFE ＝180°，∠1＋∠2＝180°， ∴∠2＝∠ DFE ， ∴ BD ∥ EF ， ∴∠3＋∠ BDE ＝180°. 又∵∠3＝∠ B ， ∴∠ B ＋∠ BDE ＝180°， ∴ DE ∥ BC ， ∴∠ AED ＝∠ C . 2. 如图所示，已知∠1＝∠2，∠ C ＝∠ F . 请指出∠ A 与∠ D 的数量关系， 并证明. 解：∠ A 和∠ D 的数量关系是相等. 证明：如图所示. ∵∠1＝∠2，∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴ BF ∥ CE ， ∴∠ ABF ＝∠ C . ∵∠ C ＝∠ F ， ∴∠ ABF ＝∠ F ， ∴ AC ∥ DF ， ∴∠ A ＝∠ D . 类型2　证明两直线平行 3. 如图所示，直线 MN 分别与直线 AC ， DG 交于点 B ， F ，且∠1＝∠2.∠ ABF 的平分线 BE 交直线 DG 于点 E ，∠ BFG 的平分线 FC 交直线 AC 于点 C . （1）试说明直线 AC 与 DG 的位置关系. 解：（1）∵∠ ABF ＝∠1，∠1＝∠2， ∴∠ ABF ＝∠2， ∴ AC ∥ DG . （2）求证： BE ∥ CF . 解：（2）证明：由（1）知 AC ∥ DG ， ∴∠ ABF ＝∠ BFG . ∵∠ ABF 的平分线 BE 交直线 DG 于点 E ，∠ BFG 的平分线 FC 交直线 AC 于点 C ， ∴∠ EBF ＝ ∠ ABF ，∠ CFB ＝ ∠ BFG ， ∴∠ EBF ＝∠ CFB ， ∴ BE ∥ CF . （3）若∠ C ＝35°，求∠ BED 的度数. 解：（3）∵ AC ∥ DG ， BE ∥ CF ，∠ C ＝35°， ∴∠ C ＝∠ CFG ＝35°， ∴∠ CFG ＝∠ BEG ＝35°， ∴∠ BED ＝180°－∠ BEG ＝145°. 类型3　证明两直线垂直 4. 如图①所示，直线 MN 与直线 AB ， CD 分别交于点 E ， F ，∠1与∠2互补. （1）试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并证明. 解：（1） AB ∥ CD . 证明：∵∠1与∠2互补， ∴∠1＋∠2＝180°.又∵∠2＋∠ CFE ＝180°， ∴∠1＝∠ CFE ，∴ AB ∥ CD . （2）如图②所示，∠ AEF 与∠ EFC 的平分线交于点 P ， EP 延长线与 CD 交于点 G ，点 H 是 MN 上一点，且 PF ∥ GH ，试判断直线 GH 与 EG 的位 置关系，并证明. 解：（2） GH ⊥ EG . 证明：由（1）知， AB ∥ CD ， ∴∠ AEF ＋∠ EFC ＝180°. 又∵∠ AEF 与∠ EFC 的平分线交于点 P ， ∴∠ FEP ＋∠ EFP ＝ （∠ AEF ＋∠ EFC ）＝90°， ∴∠ EPF ＝90°，即 EG ⊥ PF . ∵ PF ∥ GH ，∴ GH ⊥ EG . 类型4　综合问题 5. （2023·沧州期末）如图①所示，直线 GH 与直线 l 1， l 2分别交于 B ， A 两点， 点 C 在直线 l 2上，射线 AD 平分∠ BAC 交直线 l 1于点 E ，∠ GBE ＝2∠ BAE . （1）请直接写出直线 l 1与 l 2的位置关系是 ⁠. （1）根据角平分线的定义，可得∠ BAC ＝2∠ BAE ，即可证明∠ GBE ＝∠ BAC ，则 l 1∥ l 2. l 1∥ l 2　 思路分析： （2）如图②所示，点 P 是线段 AB 上一点，射线 EP 交直线 l 2于点 F ，∠ GBE ＝ 130°. ①若∠ EFC ＝40°，请求出∠ FEA 的度数. ②点 N 在射线 AD 上，且满足∠ EBN ＝∠ EFC ，连接 BN ，请补全图形，探究∠ BNA 与∠ FEA 满足的等量关系，并证明. （2）①由已知条件和平角的定义得到∠ BAE ＝65°，∠ ABE ＝50°，由平行线的 性质得到∠ BAF ＝∠ ABE ＝50°，再利用三角形内角和定理求解即可；②分当点 N 在线段 AE 上时，当点 N 在射线 ED 上时，利用平行线的性质得到∠ BEF ＝∠ EFC ，再根据三角形内角和定理进行证明. 思路分析： 解：（2）①∵∠ GBE ＝130°， l 1∥ l 2，∴∠ GAC ＝∠ GBE ＝130°， ∴∠ BAE ＝ ∠ GAC ＝65°