第五章 专题三 与平行线有关的证明问题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(人教版)

年级下册·RJ 数 学 第五章　相交线与平行线 专题三　与平行线有关的证明问题 类型1证明角相等 1. 如图所示，已知∠1，∠2互为补角，且∠3＝∠ B ，求证：∠ AFE ＝∠ ACB . 证明：∵∠1＋∠ FDE ＝180°，∠1＋∠2＝180°， ∴∠ FDE ＝∠2，∴ DF ∥ AB ，∴∠3＝∠ AEF ， ∵∠3＝∠ B ，∴∠ AEF ＝∠ B ，∴ EF ∥ CB ， ∴∠ AFE ＝∠ ACB . 2. 如图所示，已知∠1＝∠2，∠ C ＝∠ F . 请指出∠ A 与∠ D 的数量关系， 并证明. 思路分析：证明角相等先看所证的两角是何关系：（1）若两角是同位角或内错 角，则通过证平行线，根据平行线的性质推得；（2）若两角不是同位角或内错 角，一般通过等量代换推得. 解：∠ A 和∠ D 的数量关系是相等. 证明角相等先看所证的两角是何关系：（1）若两角是同位角或内错 角，则通过证平行线，根据平行线的性质推得；（2）若两角不是同位角或内错 角，一般通过等量代换推得. 证明：如图所示. ∵∠1＝∠2，∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴ BF ∥ CE ， ∴∠ ABF ＝∠ C . ∵∠ C ＝∠ F ， ∴∠ ABF ＝∠ F ，∴ AC ∥ DF ，∴∠ A ＝∠ D . 类型2证明两直线平行 3. （2023·四平伊通期末）如图所示， AD ∥ BC ，∠1＝∠ C ，∠ B ＝60°. （1）求∠ C 的度数. 解：（1）∵ AD ∥ BC ， ∴∠1＝∠ B ， ∵∠1＝∠ C ，∠ B ＝60°， ∴∠ C ＝∠ B ＝60°. （2）如果 DE 是∠ ADC 的平分线，那么 DE 与 AB 平行吗？请说明理由. 解：（2） DE ∥ AB . 理由如下：∵ AD ∥ BC ，∠ B ＝60°，∴∠1＝∠ B ＝60°， ∵ AD ∥ BC ，∠ C ＝60°，∴∠ ADC ＝180°－∠ C ＝120°， ∵ DE 平分∠ ADC ，∴∠ ADE ＝ ∠ ADC ＝60°， ∴∠1＝∠ ADE ，∴ DE ∥ AB . 4. （2023·惠州惠东期中）如图所示，点 O 在直线 AB 上， OC ⊥ OD ，∠ EDO 与 ∠1互余. （1）求证： ED ∥ AB . （2）过点 D 作 DF ⊥ OD ，判断 DF 与 OC 的位置关系，并说明理由. （3）∠ COD 的平分线 OG 交 DE 于点 G ，若∠ OGD ＝70°，求∠1的度数. 思路分析：要证明两直线平行，一般想法是证出与此两直线有关的同位角（内错 角）相等，或同旁内角互补；如本题（1）小题通过证∠ BOD ＝∠ EDO 得到线 平行，（2）小题通过证∠ ODF ＝∠ COD ＝90°得到线平行. 要证明两直线平行，一般想法是证出与此两直线有关的同位角（内错 角）相等，或同旁内角互补；如本题（1）小题通过证∠ BOD ＝∠ EDO 得到线 平行，（2）小题通过证∠ ODF ＝∠ COD ＝90°得到线平行. 解：（1）证明：∵ OC ⊥ OD ，∴∠ COD ＝90°， ∠1＋∠ BOD ＝180°－∠ COD ＝90°， ∵∠1＋∠ EDO ＝90°，∴∠ BOD ＝∠ EDO ， ∴ ED ∥ AB . （3）∵ OG 平分∠ COD ， ∴∠ COG ＝ ∠ COD ＝45°， ∵ ED ∥ AB ，∴∠ AOG ＝∠ OGD ＝70°， ∴∠1＝∠ AOG －∠ COG ＝70°－45°＝25°. （2） DF ∥ OC . 理由如下： ∵ DF ⊥ OD ， ∴∠ ODF ＝∠ COD ＝90°， ∴ DF ∥ OC . 类型3证明两直线垂直 5. 如图①所示，直线 MN 与直线 AB ， CD 分别交于点 E ， F ，∠1与∠2互补. （1）试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并证明. 解：（1） AB ∥ CD . 证明：∵∠1与∠2互补，∴∠1＋∠2＝180°. 又∵∠2＋∠ CFE ＝180°，∴∠1＝∠ CFE ，∴ AB ∥ CD . （2）如图②所示，∠ AEF 与∠ EFC 的平分线交于点 P ， EP 延长线与 CD 交于点 G ，点 H 是 MN 上一点，且 PF ∥ GH ，试判断 GH 与 EG 的位置关系，并证明. 解：（2） GH ⊥ EG . 证明：由（1）知， AB ∥ CD ， ∴∠ AEF ＋∠ EFC ＝180°. 又∵∠ AEF 与∠ EFC 的平分线交于点 P ， ∴∠ FEP ＋∠ EFP ＝ （∠ AEF ＋∠ EFC ）＝90°， ∴∠ EPF ＝90°，即 EG ⊥ PF . ∵ PF ∥ GH ，∴ GH ⊥ EG .