9.4 向量的应用-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.4 向量的应用 【考点梳理】 考点一：用向量证明线段垂直问题 考点二：用向量解决夹角问题 考点三：用向量解决线段的长度问题 考点四：向量与几何最值问题 考点五：向量在物理中的应用 考点六：平面向量应用的综合问题 【知识梳理】 知识一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：用向量证明线段垂直问题 1．（2022·高一）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 3．（2023下·河南信阳·高一校联考期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 题型二：用向量解决夹角问题 4．（2021下·福建三明·高一统考期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 6．（2023下·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 题型三：用向量解决线段的长度问题 7．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023下·全国·高一专题练习）在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 9．（2022下·山东济宁·高一统考期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 题型四：向量与几何最值问题 10．（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2023上·高一单元测试）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）    A． B．-1 C． D．2 12．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：向量在物理中的应用 13．（2023下·山东菏泽·高一统考期中）一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（    ） A．5 B．10 C．8 D． 14．（2023下·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 15．（2024下·全国·高一专题练习）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5