5.4数列的应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.4 数列的应用 我们知道，当偿还银行贷款时，需要将本金和利息一起偿还．分期还款是一种很常见的还款方式，其本质是将本金和利息分摊到每一期偿还．目前，常见的分期还款方式有“等额本金还款法”“等额本息还款法”．你能根据这两种还款方式的名称猜出它们的不同吗？ 能否用我们学习的数列知识解决呢？这节课我们一起探讨一下吧. 1. 理解分期还款中“等额本金还款法”和“等额本息还款法”的概念及计算方式；（重点） 2. 会利用等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式解决分期付款和政府支出的“乘数”效应等问题.（重点、难点） 探究点1：分期还款与数列 “等额本金还款法”：将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款分为本金和利息两部分. 每期还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率 本金 利息 例 1.自主创业的大学生张华向银行贷款200000元租赁了一处经营场所，因为预计前期经营状况会比较好，张华跟银行约定按照“等额本金还款法” 分10年进行还款，贷款的年利率为5%，设第年张华的还款金额为元，求出的表达式，并说出数列{}的特征. 分析：：200000元；还款期数：10年；利率：5%. 每期还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率 解：每期所还本金为 =20000(元)， 第1期还款金额20000+200000×5%30000(元). 第2期还款金额20000+[20000020000]×5%29000(元) 第3期还款金额20000+[20000020000×2]×5%28000(元)， …… 第n期还款金额_____________________________________________. 20000+[20000020000(n1)]×5%1000n+29000 可以看出， {}是一个递减的等差数列. 每期还款金额= + (贷款本金-已还本金总额)×利率 思考：如果向银行贷款本金元，打算分成期偿还，并且每一期的利率为，记每期还款的钱数构成的数列为, , …，用“等额本金还款法”，你能写出第期所要还的钱数的表达式吗？ ___________________________________ 【总结】 等差数列问题 问题：假设你现在手中有1000元钱，而且你打算一年以后再使用这笔钱，那么一年以后这笔钱所能买到的东西价值最多只能是1000元吗？为什么？ “等额本息还款法”： 将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一期所还的钱数相等，即 每一期的还款钱数怎么计算呢?我们举个例子来分析一下： 将钱存入银行中，假设一年定期的存款利率为5%，不计利息税，则一年后的本息和为(元)，即一年后可以买到价值1050元的东西，换句话说现在的1000元相当于一年后的1050元. 类似地，如果记现在的元相当于年后的A元，银行存款的年利率为且每年结算一次利息（不计利息税，下同）则 ，即 经济学上，一般称为A的现值，而A为的未来值. 现在的钱 涨了利息后的钱 思考：如果向银行贷款本金元，打算分成期偿还，并且每一期的利率为，记每期还款的钱数构成的数列为, , …，用“等额本息还款法”，你能写出第期所要还的钱数的表达式吗？ 分析：本金元，分成期偿还，每一期的利率为. 设每一期所还钱数均为元，即未来值是，则 第1期所还钱的现值为 元， 第2期所还钱的现值为 元， …… 第 期所还钱的现值为_________元. 最后还款的现值总和为元，因此 … = ，所以由等比数列前项和公式可解得 ____________________ 例2.刚考入大学的小明准备向银行贷款5000元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款，小明与银行约定：每个月还一次款，在12个月内还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，试求出小明每个月所要还款的钱数（精确到0.01元）. 解：可以看出，小明选择的还款方式为“等额本息还款法”，因此 即小明每个月要还款约430.33元. 本金元，分成期偿还，每一期的利率为. 【总结】 “等额本息还款法”：将本息和平均分配，每期还款额相同. 等比数列问题 探究点2:政府支出的“乘数”效应与数列 “乘数” 效应：是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度. 例如，政府如果增加道路维修费用300亿元，那么这笔费用将会使部分居民收入增加，假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费，25%用于存储或国外消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加了的居民又将一定比例的收入增加量用于国内消费，因此又会产生新一轮的影响……假设每一个受影响的居民消费理念都一样，那么经过