第18章 勾股定理 小结·评价-【良师教案】2023-2024学年八年级下册数学同步教案（沪科版）

良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ 小结􀅰评价 １.进一步巩固对勾股定理及其逆定理的理解. ２.熟练地利用勾股定理及其逆定理解决实际问题. ３.让学生在学习直角三角形的性质和判定定理的知识体系的过程中ꎬ体会解决问题的策略 的多样性. ４.在探究中培养学生分析问题、解决问题的能力ꎬ拓展学生的思维. 重点 勾股定理及其逆定理的应用. 难点 在复杂的情境中灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题. 多媒体课件. 讲练结合. 一、构建知识体系 教师课件出示: 问题 １:阅读以下内容并填空: (１)勾股定理是中学几何中一个很重要的定理ꎬ是继学习三角形的三边关系之后用来描述 特殊三角形三边关系的又一个重要的结论ꎬ它揭示了直角三角形中　 　 　 　 　 　 之间的数量 关系ꎻ (２)如果直角三角形的两条直角边分别为 ａꎬｂꎬ斜边为 ｃꎬ那么三边满足　 　 　 　 ꎬ它反映 了三边之间特殊的平方关系ꎬ它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法ꎬ 利用“赵爽弦图”证明勾股定理ꎬ体现　 　 　 　 　 　 的数学思想和　 　 　 　 法原理ꎻ (３)勾股定理的逆定理也是直角三角形的一个　 　 　 定理ꎬ即:如果三角形的三边 ａꎬｂꎬｃ 满足　 　 　 ꎬ那么这个三角形是直角三角形. 　 (１)三边　 (２)ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２ 　 数形结合　 面积 (３)判定　 ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２(或 ａ２＋ｃ２ ＝ ｂ２或 ｂ２＋ｃ２ ＝ａ２) 问题 ２:列举你已学过的直角三角形的性质和判定方法. 　 　 １２２ 数 学 第 １８　 章 　 勾 股 定 理 要求:先让学生独立完成ꎬ再小组交流ꎬ组长汇总本组答案(全班展开)ꎬ其他小组若有不同 见解可补充阐述. 二、例题讲解 【例 １】　 如图ꎬ直线上有三个正方形 ａꎬｂꎬｃꎬ若 ａꎬｃ 的面积分别为 ５ 和 １１ꎬ求 ｂ 的面积. A B C D J I H GFE l a b c 【解析】　 正方形 ａ 和 ｃ 的面积分别为 ５ 和 １１ꎬ即 ＣＤ２ ＝ ５ꎬＩＦ２ ＝ １１ꎬ要求 ｂ 的面积只需求出 ＣＥ２即可ꎬ不难发现△ＣＤＥ≌△ＥＦＩꎬ这样就把 ＩＦ 等量转移到 ＤＥꎬ从而求 ＣＥ２的问题就被转化为 已知直角三角形两直角边长求斜边的问题. 　 ∵ ∠ＣＥＤ＋∠ＩＥＦ＝ ９０°ꎬ而∠ＩＥＦ＋∠ＥＩＦ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＣＥＤ＝∠ＥＩＦ.又∠ＣＤＥ＝∠ＥＦＩꎬＣＥ＝ＥＩꎬ ∴ △ＣＤＥ≌△ＥＦＩꎬ∴ ＤＥ＝ ＩＦ. ∵ 正方形 ａ 和 ｃ 的面积分别为 ５ 和 １１ꎬ∴ ＣＤ２ ＝ ５ꎬＩＦ２ ＝ １１ꎬ ∴ 在 Ｒｔ△ＣＤＥ 中ꎬＣＥ２ ＝ＣＤ２＋ＤＥ２ ＝ＣＤ２＋ＩＦ２ ＝ ５＋１１＝ １６. 即正方形 ｂ 的面积为 １６. A B C 【例 ２】　 在△ＡＢＣ 中ꎬＡＢꎬＢＣꎬＡＣ 三边的长分别为 ５ ꎬ １０ ꎬ １３ ꎬ求这个三角形 的面积. 小王同学在解答这道题时ꎬ先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为 １)ꎬ再在网格中画出格点△ＡＢＣ(即△ＡＢＣ 的三个顶点都在小正方形的顶点处)ꎬ如右图所示ꎬ 这样不需求△ＡＢＣ 的高ꎬ而借用网格图就能计算出面积. 请你将△ＡＢＣ 的面积直接写出来:Ｓ△ＡＢＣ ＝ 　 　 　 　 . 【解析】　 △ＡＢＣ 的面积可用正方形的面积减去三个直角三角形的面积ꎬ求得 Ｓ△ＡＢＣ ＝ ３×３－ １ ２ ×２×１－ １ ２ ×３×２－ １ ２ ×３×１＝ ３.５. 　 ３.５ 三、探索创新 若△ＡＢＣ 三边的长分别为 ｍ２＋１６ｎ２ ꎬ ９ｍ２＋４ｎ２ ꎬ２ ｍ２＋ｎ２ (ｍ>０ꎬｎ>０ 且 ｍ≠ｎ) .试运用构 图法求出这个三角形的面积. 【解析】　 ｍ２＋１６ｎ２ ꎬ ９ｍ２＋４ｎ２ ꎬ２ ｍ２＋ｎ２ 可以分别看成是直角边分别为 ｍ 和 ４ｎ、３ｍ 和 ２ｎ、２ｍ 和 ２ｎ 的三个直角三角形的斜边. A B C m 4n 　 如图ꎬ构造长、宽分别为 ３ｍ 和 ４ｎ 的长方形网格ꎬ并在图中画出满足 要求的△ＡＢＣ. ＡＢ＝ ｍ２＋１６ｎ２ ꎬＢＣ＝ ９ｍ２＋４ｎ２ ꎬＡＣ＝ ２ ｍ２＋ｎ２ . Ｓ△ＡＢＣ ＝ ４ｎ􀅰３ｍ－ １ ２ ×４ｎ×ｍ－ １ ２ ×２ｍ×２ｎ－ １ ２ ×３ｍ×２ｎ＝ １２ｍｎ－２ｍｎ－２ｍｎ－３ｍｎ＝ ５ｍｎ. １２３ 　 　 良 师 教 案 八 年 级 下 ︵ 沪 科 版 ︶ 四、课堂练习 １.教材第 ６５ 页、第 ６６ 页 Ｂ 组复习题的第 １ꎬ２ꎬ４ꎬ５ 题. 　 习题 １:(１)∠Ａ＝ ３０°ꎬ∠Ｂ＝ ６０°ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ∴ ｃ＝ ２ａꎬ∴ ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２ ＝ ４ａ２ꎬ∴ ｂ２ ＝ ３ａ２ . (２)∵ ∠Ａ＝∠Ｂ＝ ４５°ꎬ∴ ａ＝ ｂꎬ∴ ａ２＋ｂ２ ＝ ｃ２ ＝ ２ａ２ . 习题 ２: