第五章 专题七 线段垂直平分线与角平分线的应用(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS 数 学 第五章　生活中的轴对称 专题七　线段垂直平分线与角平分线的应用 类型1　利用线段垂直平分线求线段的长度 1. 模型观念　如图所示，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点 F ，交 BC 于点 E ，且 BD ＝ DE . 若△ ABC 的周长为15 cm， AC ＝ 6 cm，求 DC 的长. 思路分析： 根据△ ABC 的周长可得 AB ＋ BC 的长，根据 AB ＝ AE ＝ CE ， BD ＝ DE ，即可求出 DC 的长. 解：因为 AD ⊥ BC ， BD ＝ DE ， 所以 AD 垂直平分 BE ，所以 AB ＝ AE . 又因为 EF 垂直平分 AC ，所以 AE ＝ EC ，所以 AB ＝ EC . 因为△ ABC 的周长为 15 cm， AC ＝6 cm，所以 AB ＋ BE ＋ EC ＝9 cm，即2 DE ＋2 EC ＝9 cm，所以 DE ＋ EC ＝ DC ＝4.5 cm. 类型2　利用线段垂直平分线求角度 2. 如图所示，在△ ABC 中，∠ BAC ＝80°，若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ， 求∠ PAQ 的度数. 思路分析： 设∠ PAQ ＝ x ，∠ CAP ＝ y ，∠ BAQ ＝ z ，根据线段垂直平分线的性质得 AP ＝ PB ， AQ ＝ CQ ，由等腰三角形的性质得∠ B ＝∠ BAP ＝ x ＋ z ，∠ C ＝∠ CAQ ＝ x ＋ y ，再由三角形内角和定理相加可得结论. 解：设∠ PAQ ＝ x ，∠ CAP ＝ y ，∠ BAQ ＝ z . 因为 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ，所以 AP ＝ PB ， AQ ＝ CQ ，所以∠ B ＝∠ BAP ＝ x ＋ z ，∠ C ＝∠ CAQ ＝ x ＋ y .因为∠ BAC ＝80°，所以∠ B ＋∠ C ＝100°，即 x ＋ y ＋ z ＝80°， x ＋ z ＋ x ＋ y ＝100°，所以 x ＝20°，所以∠ PAQ ＝ 20°. 类型3　利用线段垂直平分线求三角形的周长 3. 如图所示，在△ ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线， AE ＝5 cm，△ ABD 的周长 为17 cm，求△ ABC 的周长. 思路分析： 根据线段的垂直平分线的性质得到 DA ＝ DC ， AC ＝2 AE ＝10 cm，根据三角形的周长公式计算. 解：因为 DE 是 AC 的垂直平分线， 所以 DA ＝ DC ， AC ＝2 AE ＝10 cm. 因为△ ABD 的周长为17 cm，所以 AB ＋ BD ＋ AD ＝ AB ＋ BD ＋ DC ＝ AB ＋ BC ＝17 cm， 所以△ ABC 的周长为 AB ＋ BC ＋ AC ＝27 cm. 类型4　利用线段垂直平分线说明线段相等 4. 如图所示，直线 MN 和直线 DE 分别是线段 AB ， BC 的垂直平分线，它们交于 点 P ，请问 PA 和 PC 相等吗？请说明理由. 思路分析： 连接 PB ，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论. 解： PA ＝ PC . 理由：如图所示，连接 PB . 因为直线 MN 和直线 DE 分别是线段 AB ， BC 的垂直 平分线， 所以 PA ＝ PB ， PC ＝ PB ， 所以 PA ＝ PC . 类型5　利用线段垂直平分线说明角度相等 5. 如图所示，在△ ABC 中，边 AB 的垂直平分线 EF 分别交边 BC ， AB 于点 E ， F ，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，且 D 为线段 CE 的中点. （1）试说明： BE ＝ AC . 思路分析： （1）连接 AE ，由题意可判定 AD 垂直平分 CE ，由线段垂直平分线的性质可得 AC ＝ AE ＝ BE ，即可证明结论； 解：（1）如图所示，连接 AE . 因为 AD ⊥ BC 于点 D ，且 D 为线段 CE 的中点， 所以 AD 垂直平分 CE ，所以 AC ＝ AE . 因为 EF 垂直 平分 AB ，所以 AE ＝ BE ，所以 BE ＝ AC . （2）若∠ B ＝35°，求∠ C 的度数. 思路分析： （2）由等腰三角形的性质可求∠ BAE ＝35°，由直角三角形的性质可得∠ BAD 的度数，即可求得∠ EAD ，∠ CAD 的度数，进而可求解. 解： （2）因为 AE ＝ BE ，∠ B ＝35°，所以∠ BAE ＝∠ B ＝35°.因为 AD ⊥ BC ，所以∠ ADB ＝90°，所以∠ BAD ＝90°－35°＝55°，所以∠ EAD ＝55°－35°＝20°.因 为 AC ＝ AE ，所以∠ C ＝∠ AED ＝90°－20°＝70°. 类型6　利用角平分线求线段的长度 6. 在直角△ ABC 中，∠ A ＝90°， DE ⊥ BC ， BD 是∠ ABC 的平分线，且 AC ＝ 8， DE ＝3，求 DC 的长. 思路分析： 根据角平分线的性质得出 AD ＝ DE ＝3，那么 DC ＝ AC － AD ＝5. 解：因为 BD 是∠ ABC 的平分线，∠ A ＝90°， DE ⊥ BC ，所以 AD ＝ DE ＝3， 因为 AC ＝8，所以 DC ＝ AC － AD ＝8－3＝5. 类型7　利用角平分线求面积 7. 如图所示，在△ ABC 中，点 O 是∠ ABC ，∠ ACB 平分线的交点， AB ＋ BC ＋ AC ＝20，过 O 作 OD ⊥ BC 于 D 点，且 OD ＝3，求△ ABC 的面积. 思路分析： 作 OE ⊥ AB 于 E ， OF ⊥ AC 于 F ，连接 OA ，根据角平分线的性质得 OE ＝ OF ＝ OD ＝3，然后根据三角形面积公式和 S △ ABC ＝ S △ ABO ＋ S △ BCO ＋ S △ ACO 进行计算即可. 解：如图所示，过点 O 作 OE ⊥ AB 于点 E ， OF ⊥ AC 于点 F ，连接 OA . 因为点 O 是∠ ABC ，∠ ACB 平分线的交点，所以 OE ＝ OD ， OF ＝ OD ，即 OE ＝ OF ＝ OD ＝3， 所以 S △ ABC ＝ S △ ABO ＋ S △ BCO ＋ S △ ACO ＝ AB · OE ＋ BC · OD ＋ AC · OF ＝ ×3×（ AB ＋ BC ＋ AC ）＝ ×3×20＝30. 类型8　线段垂直平分线与角平分线的综合运用 8. 如图所示，△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， BC 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 BD 于点 F ，连接 CF ，若∠ A ＝60°，∠ ABD ＝24°，求∠ ACF 的度数. 思路分析： 根据角平分线的性质可得∠ DBC ＝∠ ABD ＝24°，然后计算出∠ ACB 的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得 BF ＝ CF ，进而可得∠ FCB ＝24°，然后可算出∠ ACF 的度数. 解：因为 BD 平分∠ ABC ， 所以∠ DBC ＝∠ ABD ＝24°. 因为∠ A ＝60°， 所以∠ ACB ＝180°－60°－24°×2＝72°. 因为 BC 的垂直平分线交 BC 于点 E ， 所以 BF ＝ CF ，所以∠ FCB ＝24°， 所以∠ ACF ＝72°－24°＝48°. 类型9　利用线段垂直平分线与角平分线解决实际问题 9. 请用直尺、圆规作图，不写作法，只要保留作图痕迹. 已知：如图所示，已知∠ ABC ，射线 BC 上存在一点 D . 求作：等腰三角形 PBD ，使线段 BD 为等腰三角形 PBD 的底边，点 P 在∠ ABC 内部，且点 P 到∠ ABC 两边的距离相等. 思路分析： 作∠ ABC 的平分线 BK ，线段 BD 的垂直平分线 MN ，射线 BK 与直线 MN 的交点 P 即为所求. 解：点 P 是∠ ABC 的平分线与线段 BD 的垂直平分线的交点，如图所示，点 P 即 为所求. $$