第二章 相交线与平行线 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年七年级下册数学课时通(北师大版)

年级下册·BS 数 学 第二章　相交线与平行线 本章综合提升 1. 分类讨论思想 链接本章 在利用平行线的判定定理判定两条直线平行时，因位置不确定往往需要进 行分类讨论. 　　【例1】　如图所示，在△ AOB 和△ COD 中，∠ AOB ＝∠ COD ＝90°，∠ B ＝50°，∠ C ＝60°，点 D 在边 OA 上，将图中的△ COD 绕点 O 按每秒20°的速度 沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 t 秒时，边 CD 恰好与边 AB 平 行，则 t 的值为多少？ 思路分析：分两种情况：①旋转的角度小于180°；②旋转的角度大于180°，进行 讨论即可求解. 分两种情况：①旋转的角度小于180°；②旋转的角度大于180°，进行 讨论即可求解. 解：如图①所示，△ COD 绕点 O 顺时针旋转得到△C'OD'，C'D'交 OB 于 E ，则 ∠C'OD'＝∠ COD ＝90°，∠OC'D'＝∠ C ＝60°. 当∠OEC'＝∠ B ＝50°时，C'D'∥ AB ，∴∠C'OC＝∠OEC'＋∠OC'E＝50°＋60° ＝110°，∴△ COD 绕点 O 顺时针旋转110°得到△C'OD'，所需时间为 ＝5.5 （秒）； 如图②所示，△ COD 绕点 O 顺时针旋转得到△ C ″ OD ″， C ″ D ″交直线 OB 于 F ，则∠ C ″ OD ″＝∠ COD ＝90°，∠ OC ″ D ″＝∠ OCD ＝60°， 当∠ OFC ″＝∠ B ＝50°时， C ″ D ″∥ AB ，∴∠ C ″ OC ＝180°－∠ OFC ″－∠ OC ″ F ＝180°－50°－60° ＝70°，而360°－70°＝290°， ∴△ COD 绕点 O 顺时针旋转290°得到△ C ″ OD ″，所需时间为 ＝14.5（秒）. 综上所述，在旋转的过程中，在第5.5秒或14.5秒时，边 CD 恰好与边 AB 平行. 【变式训练1】 （2023·上海徐汇区期中）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另 一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数分别是 ⁠. 2. 数形结合思想 链接本章 利用平行线的性质解决实际应用问题以及利用平行线探究角度之间的和差 倍分关系时，往往运用数形结合思想. 20°，20°或55°，125°　 　　【例2】　如图①所示是某公司生产的自行车的实物图，图②是它的部分示 意图， AF ∥ CD ，点 B 在 AF 上，∠ CAE ＝120°，∠ FAE ＝65°，∠ CBF ＝100°. 试求∠ DCB 和∠ ACB 的度数. 解：因为∠ CAE ＝120°，∠ FAE ＝65°， 所以∠ FAC ＝∠ CAE －∠ FAE ＝120°－65°＝55°. 因为 AF ∥ CD ，所以∠ DCB ＝∠ CBF ＝100°（两直线平行，内错角相等），∠ DCA ＝∠ FAC ＝55°（两直线平行，内错角相等）.所以∠ ACB ＝∠ DCB －∠ DCA ＝100°－55°＝45°. 【变式训练2】 已知直线 AB ∥ CD ， P 为平面内一点，连接 PA ， PD . （1）如图①所示，若∠ A ＝50°，∠ D ＝150°，求∠ P 的度数. 解：（1）如图①所示，过点 P 作 PE ∥ AB . 所以∠ A ＝∠ APE ＝50°.因为 AB ∥ CD ，所以 PE ∥ CD . 所以∠ EPD ＋∠ CDP ＝180°.因为∠ D ＝150°，所以∠ EPD ＝30°.所以∠ APD ＝∠ APE ＋∠ EPD ＝50°＋30°＝80°. （2）如图②所示，点 P 在 AB 上方，则∠ A ，∠ D ，∠ APD 之间有何数量关 系？请说明理由. 解：（2）∠ A ，∠ D ，∠ APD 之间的数量关系：∠ A ＋∠ D －∠ APD ＝180°. 理由：如图②所示，延长 BA 交 PD 于点 E . 因为 AB ∥ CD ，所以∠ BED ＝∠ D . 因为∠ BED ＋∠ PEB ＝180°，所以∠ PEB ＝180°－∠ D . 所以∠ BAP ＝∠ APD ＋∠ BEP ＝∠ APD ＋180°－∠ D . 所以∠ BAP ＋∠ D －∠ APD ＝180°. 3. 方程思想 　　方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系，从而构建方程或利用方程的 性质去分析、转换、解决问题的一种思想方法. 链接本章 当运用余角、补角以及垂直知识求角度，有些角的度数不容易直接求出 时，往往运用方程思想. 　　【例3】　（2023·成都武侯区月考）如图所示，直线 AB ， CD ， MN