5.3.1等比数列（二）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.3.1等比数列（二） 前面我们一起对等差数列、等比数列的有关知识进行了探索与研究，对比等差数列的有关性质，等比数列是否也具有类似的性质呢？ 1. 理解等比中项的概念，能用公式求解；（重点） 2. 掌握判断等比数列的常用方法；（重点） 3. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质，并能灵活运用于解决问题.（难点） 探究点1：等比数列通项公式的推广 例4 .已知等比数列{an}的公比为，求证：对于任意的正整数有 【解析】设等比数列的首项为,则 两式相除，整理可得 ， 即 ， 推导公式： 已知数列的任意一项（不一定是首项）以及公比，即可求出其通项公式. 例5.已知等比数列{an}中，，，求. 【解析】（方法一）设等比数列的首项为，公比为，则 解得 ，，因此 通性通法 基本量的运算 （方法二）设等比数列的公比为 根据推导公式 所以 将已知条件代入，可得 ， 又，解得. 探究点2：等比中项 思考1：请同学们结合等差中项的定义，考虑一下等比数列是否具有此类性质呢？又是如何描述的？ 等比中项的概念 如果是等比数列，那么称为与的等比中项. = → 例如：2与8的等比中项是 两个正数的等比中项有两个 容易看出，在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列. 追问1：一个等比数列是1，2，4，8，16，32，64.请问8是谁的等比中项呢？ 【拓展提升】对等比中项的理解： 1，2，4，8，16，32，64 追问2：对任意两个不为零的数是否一定都有等比中项？若有是否唯一？ 提示：不一定，只有当两个数同号，即两个数之积大于零时，此两数才有等比中项且有两个等比中项，它们互为相反数. 追问3：为与的等比中项的充要条件是=吗？ 提示：不是，在中，若=0，则,中至少有一个为0，此时三个数不成等比数列；若,，,均为非零常 数，则,，成等比数列. 例6.如果数列{an}中，在时恒成立， 求证： {an}是等比数列. 探究点3：等比数列的判断方法 【解析】 ， 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{}是等比数列. 是与 的等比中项 等比数列的定义是什么？ 【总结】 (1)定义法：若(q为常数)，则数列为等比数列； (2)等比中项法：若()，则数列为等比数列； (3)通项法：若(k，b为非零常数)，则数列为等比数列； 判断一个数列是不是等比数列的几种常用方法 判断一个数列是否为等比数列，可以用以上三种方法，但证明一个数列是等比数列，只能用方法1和方法2. 探究点4：等比数列的性质 思考 1：设数列{an}的通项公式为，求出，并比较它们的大小. 【提示】由易知，数列{}是等比数列， 因为 =， =， 所以. 思考：类比等差数列，从中你发现了怎样的一般规律？ 下标和性质 一般地，如果 是等比数列，而且正整数s， t，p，q满足 s + t = p + q，则 . 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 = pq，即 是与 的等比中项. 以上性质可描述为： 等比数列中，下标和相等的任意两项，它们的积也相等. 即时训练： 1.在等比数列{}中， , ,则=__________. 或-30 30 2.等比数列{}的各项均为正数， ,则 =__________. 【解析】由等比数列的下标和性质可知 . 所以 . 5 例7.在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 【解析】（方法一）依题意，， ， 由等比数列的通项公式，得，解得 当时，插入的3个数分别为 当时，插入的3个数分别为4×()=-2，-2×()=1，1×()=， 因此插入的3个数分别为或. （方法二）因为等比数列共有5项，即，，，，. 又因为所以 即，又因为要与同号，所以 类似地，有而且与同号，因此 当 时， ； 当 = 2时， = ； 因此插入的3个数分别为或 思考：常见的等比数列的性质还有哪些？ 【提示】(1)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列 构成的数列仍为_________． (2){}(λ≠0)，{||}皆为等比数列，公比分别为______； (3)若{}和{}分别是公比为q和p的等比数列，则 数列{·}，{ }仍是等比数列，它们的公比分别________. 等比数列 1.通项公式的推广； 2.等比中项； 3.等比数列的判断； 4.下标和性质. $$