5.5 数学归纳法（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

5.5 数学归纳法 课程标准 学习目标 （1）了解数学归纳法的原理和步骤，能用数学归纳法证明关于正整数的数学命题； （2）借助具体实例，进行大胆猜测和证明，理解数学归纳法的原理和步骤； （3）感受类比、从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。 （1）了解数学归纳法的原理； （2）掌握数学归纳法证明一些问题的一般方法与步骤； （3）能用数学归纳法证明一些数学命题。 知识点01 数学归纳法 1、数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立. 在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 2、数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 【即学即练1】（2023·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ） A． B． C． D． 知识点02 “归纳——猜想——证明”的一般环节 （1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； （2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； （3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 【即学即练2】（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）若正项数列中，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【题型一：对数学归纳法的理解】 例1．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 变式1-1．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）（多选）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 变式1-2．（2023·高二校考课时练习）如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（ ） A．对所有的正整数成立； B．对所有的正奇数成立； C．对所有的正偶数成立； D．对所有大于1的正整数成立. 变式1-3．（2023·高二课时练习）（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（ ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【方法技巧与总结】 1、验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； 2、递推是关键：正确分析由到时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障。 【题型二：数学归纳法处理增项问题】 例2．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ） A．1项 B．项 C．项 D．项 变式2-1．（2022·河南南阳·高二校联考专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（ ） A． B． C． D． 变式2-2．（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 变式2-3．（2023·陕西渭南·高二校考期中）设，那么等于（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用数学归纳法研究添项问题关键在于弄清表达式的构成规律，从而确定到增加多少项，增加怎样的项。