专题7.3 空间角与空间中的距离问题【九大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题7.3 空间角与空间中的距离问题【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 3 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 3 【题型3 几何法求线面角】 5 【题型4 向量法求线面角】 6 【题型5 几何法求二面角】 8 【题型6 向量法求二面角】 10 【题型7 几何法求点、线、面距离】 12 【题型8 向量法求点、线、面距离】 14 【题型9 立体几何中的探索性问题】 16 1、空间角与空间中的距离问题 空间角与空间中的距离问题是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，空间角与点、线、面距离问题通常在选择题、多选题及解答题的第二小问考查，难度中等.在高考二轮复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用，学会灵活求解. 【知识点1 几何法求空间角】 1.几何法求异面直线所成的角 (1)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. (2)可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①直接平移法(可利用图中已有的平行线)； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 2.几何法求线面角 (1)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形. (2)公式法求线面角(也称等体积法)： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 3.几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 【知识点2 用向量法求空间角的解题策略】 1.用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 2.向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 3.向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【知识点3 空间距离的求解策略】 1.向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 2.求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）在正四面体ABCD中，E，F 是棱BC，AB的中点，则异面直线 DE 与CF 所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是圆的直径，是等边三角形，点为的三等分点且靠近点，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，点为正方形的中心，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知在长方体中，，点E在线段上，且，M为线段BE的中点，若，则异面直线与CM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 【