专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【八大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 空间几何体的结构特征】 2 【题型2 多面体的表面积与体积】 3 【题型3 旋转体的表面积与体积】 5 【题型4 斜二测画法及其应用】 6 【题型5 空间几何体中的最短路径问题】 7 【题型6 空间几何体的截面问题】 8 【题型7 空间几何体的外接球问题】 9 【题型8 空间几何体的内切球问题】 10 1、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在复习时，不仅要熟练掌握空间几何体的结构特征，还应加强几何体表面积和体积的解题训练. 【知识点1 空间几何体结构特征的判断】 1.空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 【知识点2 斜二测画法和展开图的常用结论】 1.斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 2.几何体的表面展开图的常用结论： 几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状. 【知识点3 最短路径问题】 1.最短路径问题的解题策略 (1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面. (2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解. 【知识点4 空间几何体表面积与体积的常见求法】 1.常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解. (2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 2.求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【知识点5 几何体与球的切、接问题的解题策略】 1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 2.空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面， 把空间问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元 素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心 的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【题型1 空间几何体的结构特征】 【例1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．已知长方体，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（    ） A．，，的长度 B．，，的长度 C．，，的长度 D．，BD，的长度 【变式1-2】（2022·广东广州·校联考三模）下列说法正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 C．平行六面