精品解析：浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

杭州二中2023学年第二学期高三年级开学考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列满足，则的值为 A. 2 B. 4 C. D. 6 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. C. 120 D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为互不重合的平面，为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（ ） A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D. 若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数 11. 记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数．则______；若，则实数m的值为______． 13. 设是复数，已知，，，则__________． 14. 如图，已知，，为边上两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 16. 设函数的图像为曲线，过原点且斜率为的直线为.设与除点外，还有另外两个交点，（可以重合），记. （1）求的解析式； （2）求单调区间. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 18. 已知抛物线焦点为.设（其中，）为拋物线上一点.过作抛物线的两条切线，，，为切点.射线交抛物线于另一点. （1）若，求直线的方程； （2）求四边形面积的最小值. 19. 设整数满足，集合.从中选取个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有个，设它们的和为.例如. （1）若，求； （2）记.求和的整式表达式； （3）用含，的式子来表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州二中2023学年第二学期高三年级开学考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解. 【详解】依题意，集合中有个元素，则其真子集的个数有个. 故选：C 2. 已知等比数列满足，则的值为 A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和等比数列的性质求出，结合计算即可. 【详解】根据等比数列的性质可得，∴， 即，解得， 又∵，，故可得， 故选：B 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【