精品解析：北京第五中学2023-2024学年高三下学期开学检测数学试卷

2023—2024学年度第二学期开学检测试卷 高三数学 班级__________姓名__________学号__________成绩 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数（其中为虚数单位，为实数）为纯虚数，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 12 4. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 54种 D. 8种 5. 已知点，，动点C在圆上，则的最大值为（ ） A B. C. D. 3 6. 若函数的最大值为2，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 从某个角度观察篮球可以得到一个对称的平面图形如图所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，记：为等差数列；：对任意自然数为等差数列，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 10. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．现建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系．设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则抛物线的准线方程为__________． 12. 已知角的终边经过点，则__________． 13. 等差数列满足，则a5=______；若，则n=______时，{an}的前n项和取得最大值． 14. 已知函数 （1）若，则的零点是_______. （2）若无零点，则实数取值范围是_______. 15. 设等差数列的前项和为，则有以下四个结论： ①若，则 ②若，且，则且 ③若，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1，则公差为2 ④若，且，则和均是的最大值 其中正确命题的序号为___________. 三､解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 16. 已知的内角的对边分别为，且满足，． （1）求的大小； （2）已知是的中线，求的最大值． 17. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表： 次数 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 甲 80 78 82 86 95 93 — 乙 76 81 80 85 89 96 94 （1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率； （2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX； （3）从乙同学进行7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点. （1）求证：∥平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 （i）平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值； （ii）点A到平面CEF的距离. 条件①：； 条件②：直线与平面所成的角为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则． 20. 已知椭圆的离心率为，且其左顶点到椭圆外的直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且斜率为的直线交