精品解析：北京市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

北京二中2023—2024学年度高三年级第二学期开学测试试卷 数学 命题人：_______ 得分： _______ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是纯虚数，则在复平面中，复数的共轭复数对应的点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 已知，，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 6. 设是无穷数列，记，则“是等比数列”是“是等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面题矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形．若，则该几何体的体积为（ ） （图1） （图2） A. 90 B. C. D. 135 8. 已知双曲线的右顶点为M，以M为圆心，双曲线C的半焦距为半径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于A，B两点．若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 平面直角坐标系中，定点A的坐标为，其中.若当点在圆上运动时，的最大值为0，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 抛物线的焦点坐标为_________，准线方程为__________． 12. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________. 13. 已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为，则_____________. 14. 已知函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的值为_________． 15. 已知函数给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则. 其中，所有正确结论的序号为__________. 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骡或证明过程） 16. 在△ABC中，． （1）求B的值； （2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求的值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 17. 某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表： 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数． （Ⅰ）求X的分布列与数学期望； （Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值； （Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论） 18. 在三棱柱中，，平面平面，分别为棱中点，如图： （1）求证：平面； （2）若， ①求与平面所成角正弦值； ②求线段在平面内的投影的长. 19. 已知分别是椭圆左、右焦点，且焦距为2，动弦平行于x轴，且． （1）求椭圆E的方程； （2）设为