精品解析：北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高三下学期统考四（开学考）数学试题

试卷编号：9972 北京一零一中2023-2024学年度第二学期高三数学统考四 班级：__________学号：__________姓名：__________成绩：__________ 一､选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，．若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在的展开式中，第4项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则点A到的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是无穷等比数列，则“存在，使得，”是“对任意，均有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 10. 已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，已知点，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题共5小题． 11. 已知角的终边经过点，则的值是___________. 12. 已知双曲线的离心率为2，则实数____________． 13. 已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于__________． 14. 设函数，①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________. 15. 如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论： ①四面体的体积为； ②可能是等边三角形； ③当时，； ④有且仅有两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形． 其中所有正确结论的序号是__________． 三､解答题共6小题．解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的最值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求： （i）直线与平面所成角的正弦值； （ii）点到平面的距离． 条件①：二面角大小为； 条件②： 条件③：． 18. “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下： 假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立． （1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率； （2）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望； （3）设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为､平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系． 19. 已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程． 20 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数在上最小值； （3）写出实数的一个值，使得恒成立，并证明． 21. 已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷编号：9972 北京一零一中2023-2024学年度第二学