精品解析：安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期第一次学情检测（2月）数学试题

2023——2024学年高二下学期第一次学情检测 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 在复平面内，复数 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知样本数据 均值为3，则样本数据 的均值为 （ ） A. B. 6 C. 7 D. 12 3. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 的值为 （ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 已知幂函数 为偶函数，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 直线与抛物线交于 两点，则 （ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知且 ，若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，已知 ，则点 到直线 的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过双曲线右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点. 若，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 圆与圆有4条公切线 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 最大值为 10. 已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于 结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点 对称 D. 的图象向右平移个单位长度可以得到函数 图象 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点. 则 （ ） A. 与平面相交于点 B. C. 直线与直线所成角的范围是 D. 三棱锥的体积为定值是 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分. ） 12. 假设 ，且与 相互独立，则 ________________. 13. 已知椭圆短轴长为4，焦距为，分别是椭圆的左、右焦点，若点为 上的任意一点，的最小值为_____________________. 14. 2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 _____________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 15. 已知集合 . （1）若 ，求 ; （2）若“ ”是“ ”充分不必要条件，求实数 取值范围. 16. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 17. 如图，在几何体中，底面为边长为2的正方形，平面. （1）证明：平面 ； （2）求二面角的大小. 18. 已知圆 ，过定点 作与 轴不重合的直线 交曲线 于 两点. （1）过点作与直线 垂直的直线 交曲线 于、两点，求四边形 面积的最大值； （2）设曲线 与 轴交于 两点，直线 与直线 相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 19. 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年——325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线. 已知图乙中，椭圆 的中心在坐标原点，焦点为，由 发出的光线经椭圆两次反射后回到 经过的路程为 . （1）点 是椭圆 上除顶点外的任意一点，椭圆 在点 处的切线为在 上的射影 满足，利用椭圆的光学性质求椭圆 的方程； （2）在: （1）的条件下，设椭圆 上顶点为 ，点 为 轴上不同于椭圆顶点的点，且，直线 分别与椭圆 交于点 （异于点 ），，垂