精品解析：江苏省镇江市丹阳高级中学2024届高三下学期2月阶段检测数学试题

2023-2024学年度第二学期2月阶段检测 高三数学 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则的子集个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列，向量，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 5. 已知定义在上函数的图象连续不间断，有下列四个命题： 甲：是奇函数； 乙：的图象关于点对称； 丙：； 丁：； 如果有且仅有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点. 若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，使恒成立的有序数对有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 亚洲奥林匹克理事会宣布，原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．为了加大宣传力度，杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛，现随机抽取30名选手，其得分如图所示．设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ） A. 若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形面积为6 B. 切线l方程为 C. 若，则弦对应的抛物线弓形面积大于 D. 若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件为“五名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选安全防范服务”，则_________. 13. 对于数列，由作通项得到的数列，称为数列的差分数列，已知数列为数列的差分数列，且是以1为首项以2为公差的等差数列，则______． 14. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，在底面的射影为正方形的中心，，点为中点.点为该四棱锥表面上一个动点，满足、都平行于过的四棱锥的截面，则动点的轨迹围成的多边形的面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15. 某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩. （1）从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率； （2）甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则， 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 17. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若，求三角形手巾的面积； （2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 18. 已知双曲线的离心率为，记双曲线C与圆的交点为，，，（逆时针排列），且矩形的面积为． （1）求双曲线C的标准方