5.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课件-2023-2024学年高一数学下学期北师大版（2019）必修第二册

5.3.1复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 第五章 复数 复数乘、除运算的三角表示． 复数乘、除运算的三角表示的几何意义． 1.通过复数的几何意义，了解复数乘除运算的三角表示式及其几何意义． 2.引导学生对复数乘除运算三角表示式的几何意义的自主探究，培养学生积极参与合 作交流，了解从特殊到一般的数学抽象过程． 3.通过研究复数的乘除运算的几何意义，揭示数与形之间的联系，帮助学生掌握数形 结合的思想方法，培养学生数学抽象与直观想象的素养． 2 复数的表示 在前面的学习中，我们研究了复数代数形式的四则运算，上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式：三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示？下面我们就一起来研究这个问题． 3 我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？ 设a，b，c，dR，则： (a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i； (a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad +bc)i． 4 上节课，我们学习了复数一种新的表示方法—三角形式，那么复数的加法运算是否能用三角形式来表示呢？ 一般来说复数的加法不便表示成三角形式． 复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法和乘法运算是否能用三角形式来表示？ 一般说来复数的减法不便表示成三角形式． 5 如果把复数，分别写成三角形式sin，sin，你能计算并将结果分别表示成三角形式吗？ 复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为 sin•sin=+isin ． 推导过程如下： 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到： 6 你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？ 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的 和，可以简述为“模相乘，辐角相加”． 7 我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．请你由复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试． 两个复数，相乘时，可以像右图那样，先分别画出与，对应的向量， ，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果<0，就要把绕点Ｏ按顺时针方向旋转角| |），再把它的模变为原来的倍，得到向量， 表示的复数就是积．这就是复数乘法的几何意义． 8 你能解释和的几何意义吗？ 1、可以写为i，其几何意义是“将i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到-1对应的向量”； 2、可以写为i，其几何意义是“将对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到1对应的向量”． 9 除法运算是乘法运算的逆运算．根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？ 可以将复数除法运算转化为乘法运算的方法（配凑法），得出复数除法运算三角表示公式：． 推导过程如下： 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有． 10 你能用文字语言来表述复数除法的三角表示公式吗？ 复数除法三角表示公式： ． 用文字语言可表述为： 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 你还有其他的推导方法吗？ 也可以通过“分数”运算直接推导得出： ． 11 类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 由，结合图形，可以得到复数除法运算的几何意义为：两个复数，相乘时，可以像右图那样，先分别画出与，对应的向量， ， ，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角（如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角| |），再把它的模变为原来的倍，得到向量， 表示的复数就是商．这就是复数除法的几何意义． 12 如果复数z=r(cos+isin)对应的向量，绕点O按逆时针方向旋转角，模不变，所得向量对应的新复数是什么？ 对应的新复数是r (cos+isin)(cos+isin)=r[cos(+)+isin(+)]． 新复数是cos()+isin() ]． 若按顺时针方向旋转角呢？ 伸长倍，对应的新复数为r (cos+isin)． 缩短倍，对应的新复数为 (cos+isin)． 若模伸长或者缩短倍呢? 利用复数的乘法和除法运算的几何意义，可以把平面向量的旋转和伸缩问题转化为复数的乘、除运算问题；反之亦然． 13 2、把复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　) A.a－bi B.－a＋bi C.b－ai D.－b＋ai 解析： 1.(1)(√) (2)(×)提示　∵辐角主值α、β