精品解析：陕西省百师联盟2024届高三下学期开年摸底联考理科数学试题（全国卷）

2024届高三开年摸底联考全国卷 理科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手得分情况如下表： 得分 6 7 8 9 10 人数 1 2 4 2 1 则这10位选手得分的方差为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 4. 实数满足约束条件则目标函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A B. C. 1 D. 2 6. 已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 若能被整除，则正整数的最小值为（ ） A. 53 B. 54 C. 55 D. 56 9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在处取得极大值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，若，当时，有，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A B. C. D. 12. 已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 为偶函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知单位向量满足，则=______. 14. 执行如图所示的程序框图，如果输入的值为2，则输出的的值为_______． 15. 已知，若，则的最大值为______． 16. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点（异于坐标原点，与轴交于点，若，则向量与的夹角为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 已知数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 18. 如图，在三棱台中，，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角正弦值． 19. 某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张奖卷只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖. （1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率； （2）假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 20. 已知椭圆的右焦点为，离心率为为椭圆上一点，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点（与点不重合），面积的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）点为直线上一点，记的斜率分别为，若，求点的坐标． 21. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若直线与曲线相切，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若为曲线上到直线的距离最小的点，求点在平面直角坐标系中的坐标． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）对，若不等式恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学