云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三第五次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第五次学科体验 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．已知命题：，，则命题的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 4．有三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知直线：与直线：，“”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：（，），，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若事件、满足，，且，则、相互独立 B．数据2、3、4、6、7、8、9、10、11、12、14、16的第75百分位数为11 C．变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为1 D．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 10．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 11．已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列是等比数列，若，，则            ． 13．甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球．掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球．则摸到2个白球的概率为            ． 14．若函数（）的图象存在对称轴，则的最小值为            ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长． 16．（本小题满分15分）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点． （1）证明：，，，四点共面； （2）为边上一点，若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的长度． 17．（本小题满分15分）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数，，，（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）计算的值； （2）用表示“”这一事件，求事件的概率； （3）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 18．（本小题满分17分）已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）已知有三个零点，分别为，，（）， （i）求的取值范围； （ii）证明：． 19．（本小题满分17分）现有一系列曲线，的方程为（），从原点出发的射线：（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，． （1）求曲线的离心率； （2）记的面积为， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $《云南师大附中2027届高三数学第五次学科体验》参考答案 题号 2 4 5 6 8 9 10 11 答案 D D B AD AD BCD 12.324 4 13.15 14.-4 f(x)=2v3sinxcosx+2sin2x-1=V3sin2x-cos2x=2sin 15.(1)函数 2 6) 最小正周期 T=2=元 2 -:Z展电晋a行n …6分 由2 62 (keZ) -2a24-}-?.241 a6),即 因为A为△MBC的内角，故A∈(0，)】 则 24 2A-π元 ，Asπ 因此62，解得3，因为AD是∠A的角平分线，所以 ∠BAD=LCAD= 6, 由面积关系S△MBc=S△MBD+S△4cD,则有2 besin 4=cADsin∠BAD+b-AD-sin∠C4D 22 2,解得 …13分 16.(1)证明：连接B,C,BD,4D,因为4，B,C,D分别为棱BB,BC,CD, DD的中点， 所以B4DD,且B4=DD,所以四边形B4DD为平行四边形，所以B,DAD,又 B,CB,D,所以B,C,1A,D,所以4，B,C,D四点共面 …7分 (2)如图，以C为原点，以CD,CB,CC所在直线为x轴，'轴，z轴建立空间直角坐标系，由 CB、 AB=BC=2,A4=4,4,B,C,D分别为棱BB,BC,CD,DD的中点，可得 4(0,22),D,(2,0,2),C(0,00）.C(0,0,4),t设P(0,0)(0≤1≤4)，则CC=(00,4). A,D2=(2,-2,0).PA=(0,2,2-) 4,D2m=2x-2y=0 √6 CC=(00,4)为平面ABCD的法向量，又平面PA,D,与平面ABCD所成夹角的余弦值为3，设平面 8 cos0-cos(CCm- CC·m t-2 4 3 4.1+ PA,D与平面ABC所成夹角为日，则 (t-2)2 ，解得 t=1或3，所以CP长度为l或3.… …15分 17.(1)因为i4n+1=i,n2=-1,i3=-i,in4=1,所以n+1+i+2+im*3+i*4=0（n∈N ), 因为2027=506×4+3，所以i+i2++…i2027=506×0+2025+i2026+2027=i+i2+i=-1.4分 (2)所有的基本事件个数有4×4=16（个）， A包含的基本事件有(-1，)、（L-）、(,)、（i-)共4个，所以 .…8分 (3)由题意可知，随机变量5的可能取值为-1、0、1,5=-1所包含的基本事件有：（，)、（么，-） (位i)、（i-),共4个，5=0所包含的基本事件有：(，)、)、（1，)、在-)、（-i)、（-i,) （L,-1)、（i-,共8个，5=1所包合的基本事件有：(L,、（1-)低，-)、（i),共4个， 所以， P附=-8-支.=小-6-.有 p5=-)-164, -1 0 1 1 P 1 2 4 所以 0=-10*好0 2 …15分 R)当=l所.创=h-+?,r)-0,=-, g=e6Brag的R败学e)=a中又在0，原年求资方 y=x-2. …4分 ②西数儿因定义板为化+.由)=h(-小-+2=0,0n(r-+1=-0 令8()=h(x-1)+24- 8()1,-24-2-2x+21 ,依愿意，则函数8()有3个零点， =x-22(x-）,方 程2-2+21=0，△=42-8.当4≤0，即0<1≤2时，8()≥0，函数8(x)在（+o)上单调 递增，8()最多一个零点，不符合题意；当△>0，即>2时，方程x2-2x+21=0的两个根为 a=1-P-2i.b=1+P-2.又F-1=-21>-2}=1-2.则t-F-2<2.又 a-1=-l)--y-1>0.则1<a<2<b.当1<x<a,x>b时，g6)>0,当a<x<b时。 g'()<0,所以函数8()在（么a)(6,+切）上单调递增，在(a,b)上单调递减，则 gego,m=ae-小号1-0.医tgo)0.o0,X等r g()→-0，当r→+o时，8()→+0，则函数8(x在a),(a,),(伍，+0）各有一个零点，故 函数8（有3个零点，即函数8(）有3个零点.综上，1>2. …10分 (i)由（①）得，1<x<2,=2.>2 ee-g之i-》 =1+-21=0+2x-2x=08()+81+）=0 ,故 1+ =1+1 “,函数8()只有3个零点，所以5-1 所以 k-以g-2-听a-02E殿-%0-2 …17分 -=1 19.(1)由曲线C,的方程为x+2y2=n(n>0),即2 (n>0), a2=n2 62=2 所以( c3ae-小号-，-当 …4分 (2)(i)由于t>0,故直线A,B的斜率一定存在，设直线A,B,的方程为y=kx+m,联立 y=kx+m x2+2y2=n2 消去y可符+2)r+4m,+2m-=0,由于直线4,8，与曲线C相切，故 y=knx+mm 4=(4,m,尸-4+2k)2m-n）=0,化简得2m=n(+2k).联立2+2y2=u+,消 去y可得+2)x+4,m,x+2m-0m+12=0. △2=(4k,m,)2-41+2k)[2m-(n+1)2]=41+2k)1+2n）)>0 XA+xB= 4k,m。 1+2k2 2m2-(n+1)2 所以( 1+2K 以ha-E+--e 4k mn 4. 2m2-(n+1)2 1+2K 1+2k7 =V1+好 8m0+2）4.n0+2)-n+ 2V1+k 2n+1 (1+2) 1+2k V1+2K ,又点O到直线A,B的距 m 窝为V+后，所以△O1,B的面积为 8-v2灭 V1+k好V1+2k好 V1+k好 2 ;…11分 1.22 1 1 )S。n2n+n2nnVn2-Vnn-1mVn+司 可g点 2 1-6 (n≥2)，由 2得S3 n 3 … …17分