专题11二次函数的图象与性质（选择+填空）【5大考点精讲】-中考高分指南备战2024年中考数学考点总复习（全国通用）

【中考高分指南】数学（选择+填空） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用） 专题11 二次函数的图象与性质（原卷版） 【考点1】二次函数的表达式 1.二次函数的3种表达式及其性质作用 名称 通式 适用范围 一般式 y＝ax2+bx+c（a≠0） 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式 顶点式 y＝a（x-m）2+h（a≠0） 当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表达式 交点式 y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0） 其中，（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式 相互联系 二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行； 2.二次函数平移的方法： ①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略）， ②“左加右减（x），上加下减（y）”； 3.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系 （1）二者的形状相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k).  （2）y=ax2的图象右左 y=a(x-h)2的图象上下 y=a(x-h)2+k的图象. 【考点2】二次函数的图象特征与最值 1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）： 对称轴：直线；顶点坐标：； 开口向上 a＞0 二次函数有最小值； 开口向下 a＜0 二次函数有最大值； 2. 图象的增减性问题： 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围； 【考点3】二次函数图象与系数的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 【考点4】二次函数与方程、不等式（组） 1. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程之间的关系： 1) 求交点：①求抛物线与x轴交点坐标→直接让y=0，即：ax2+bx+c=0 ②求抛物线与某直线l的交点坐标→联立抛物线与直线解析式，得新组成的一元二次方程，解新方程即的两图象交点横坐标，再代入直线或抛物线解析式即可得交点坐标。 2) 利用△判断抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交点个数： ①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数 ∵△=b2-4ac， ∴△＞0，抛物线与x轴有2个交点； △=0，抛物线与x轴有1个交点； △＜0，抛物线与x轴无交点； ②求抛物线与某直线l的交点个数→联立抛物线与直线l解析式，得新组成的一元二次方程， 后续求交点个数方法同上； 3) 一元二次方程方程ax2+bx+c=n的解的几何意义： 表示抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝n的交点横坐标； 2. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元一次不等式之间的关系： 利用图象的交点坐标和上下关系，直接确定不等式的解集，常见关系如下： ①ax2+bx+c＞0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方时，自变量x的取值范围； ②ax2+bx+c＜0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方时，自变量x的取值范围； ③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在直线y=kx+m上方时，自变量x的取值范围； ④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在直线y=kx+m下方时，自变量x的取值范围； 【考点5】二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象上点的坐标特征主要考点： 1. 点在图象上，点的特征符合其解析式 2. 和二次函数图象性质结合考察抛物线上各点纵坐标比较大小的问题 3. 和其他几何图形结合，综合考察两者的性质 【考点1】